Упр.153 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

1) y = 1+x/x+3, x0=-3;
2) y = система
x2+4x+4/x+2 при x=/2
3 при x=-2,
x0=2;
3) f(x) = система
x2+4 при x < 2, x+6 при x > =2,
x0=2;
4) f(x) = система
sinx при x < пи, 6+ |x - пи| при x > =пи,
x0=пи.

Подробный ответ

$$y=\frac{1+x}{x+3}, \quad x_0=-3.$$
При $$x=-3$$ знаменатель обращается в нуль, поэтому функция в этой точке не определена.
Кроме того,
$$ \lim_{x\to -3-}\frac{1+x}{x+3}=+\infty,\qquad \lim_{x\to -3+}\frac{1+x}{x+3}=-\infty. $$
Следовательно, функция в точке $$x_0=-3$$ не является непрерывной.
$$ y= \begin{cases} \dfrac{x^2+4x+4}{x+2}, & x\ne -2,\\ 3, & x=-2, \end{cases} \quad x_0=-2. $$
Для $$x\ne -2$$ имеем
$$ \frac{x^2+4x+4}{x+2}=\frac{(x+2)^2}{x+2}=x+2. $$
Тогда
$$ \lim_{x\to -2}\frac{x^2+4x+4}{x+2}=\lim_{x\to -2}(x+2)=0. $$
Но $$y(-2)=3$$, значит $$\lim\limits_{x\to -2}y\ne y(-2)$$. Функция не непрерывна в точке $$x_0=-2$$.
$$ f(x)= \begin{cases} x^2+4, & x<2,\\ x+6, & x\ge 2, \end{cases} \quad x_0=2. $$
$$ \lim_{x\to 2-}(x^2+4)=2^2+4=8, $$
$$ \lim_{x\to 2+}(x+6)=2+6=8, $$
$$ f(2)=2+6=8. $$
Так как левый и правый пределы равны значению функции в точке, функция непрерывна в $$x_0=2$$.
$$ f(x)= \begin{cases} \sin x, & x<\pi,\\ 6+|x-\pi|, & x\ge \pi, \end{cases} \quad x_0=\pi. $$
$$ \lim_{x\to \pi-}\sin x=\sin \pi=0, $$
$$ \lim_{x\to \pi+}(6+|x-\pi|)=6+0=6, $$
$$ f(\pi)=6+|\pi-\pi|=6. $$
Левый и правый пределы не равны, значит функция в точке $$x_0=\pi$$ не является непрерывной.