Упр.153 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Выяснить, является ли непрерывной в точке $$x_0$$ функция:

1. $$y=\frac{1+x}{x+3},\quad x_0=-3$$;
2. $$y=\begin{cases}\dfrac{x^2+4x+4}{x+2},&x\ne-2,\\3,&x=-2,\end{cases}\quad x_0=-2$$;
3. $$f(x)=\begin{cases}x^2+4,&x<2,\\x+6,&x\geqslant2,\end{cases}\quad x_0=2$$;
4. $$f(x)=\begin{cases}\sin x,&x<\pi,\\6+\lvert x-\pi\rvert,&x\geqslant\pi,\end{cases}\quad x_0=\pi$$.

1. $$y=\frac{1+x}{x+3}, \quad x_0=-3.$$

   При $$x=-3$$ знаменатель обращается в нуль, поэтому функция в этой точке не определена.

   Кроме того,

   $$\lim_{x\to -3-}\frac{1+x}{x+3}=+\infty,\qquad \lim_{x\to -3+}\frac{1+x}{x+3}=-\infty.$$

   Следовательно, функция в точке $$x_0=-3$$ не является непрерывной.

2. $$y= \begin{cases} \dfrac{x^2+4x+4}{x+2}, & x\ne -2,\\ 3, & x=-2, \end{cases} \quad x_0=-2.$$

   Для $$x\ne -2$$ имеем

   $$\frac{x^2+4x+4}{x+2}=\frac{(x+2)^2}{x+2}=x+2.$$

   Тогда

   $$\lim_{x\to -2}\frac{x^2+4x+4}{x+2}=\lim_{x\to -2}(x+2)=0.$$

   Но $$y(-2)=3$$, значит $$\lim\limits_{x\to -2}y\ne y(-2)$$. Функция не непрерывна в точке $$x_0=-2$$.

3. $$f(x)= \begin{cases} x^2+4, & x<2,\\ x+6, & x\ge 2, \end{cases} \quad x_0=2.$$

   $$\lim_{x\to 2-}(x^2+4)=2^2+4=8,$$

   $$\lim_{x\to 2+}(x+6)=2+6=8,$$

   $$f(2)=2+6=8.$$

   Так как левый и правый пределы равны значению функции в точке, функция непрерывна в $$x_0=2$$.

4. $$f(x)= \begin{cases} \sin x, & x<\pi,\\ 6+|x-\pi|, & x\ge \pi, \end{cases} \quad x_0=\pi.$$

   $$\lim_{x\to \pi-}\sin x=\sin \pi=0,$$

   $$\lim_{x\to \pi+}(6+|x-\pi|)=6+0=6,$$

   $$f(\pi)=6+|\pi-\pi|=6.$$

   Левый и правый пределы не равны, значит функция в точке $$x_0=\pi$$ не является непрерывной.

Ответ

1) нет; 2) нет; 3) да; 4) нет.