Упр.152 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$f(x)=\begin{cases}2^x, & x<2,\\ 4+\sqrt{x-2}, & x>2.\end{cases}$$

   При $$x\to 2-$$ имеем $$2^x\to 2^2=4.$$

   При $$x\to 2+$$ имеем $$4+\sqrt{x-2}\to 4+\sqrt{0}=4.$$

   Значит, $$\lim\limits_{x\to 2}f(x)=4.$$

   В точке $$x=2$$ функция не задана, поэтому она не является непрерывной на всей числовой прямой.

   Функция непрерывна на промежутках $$(-\infty;2)$$ и $$(2;+\infty).$$

2. $$f(x)=\begin{cases}\log_2 x, & x\le 2,\\ x^2-4x+3, & x>2.\end{cases}$$

   При $$x\to 2-$$ имеем $$\log_2 x\to \log_2 2=1.$$

   При $$x\to 2+$$ имеем $$x^2-4x+3\to 2^2-4\cdot 2+3=-1.$$

   Так как $$1\ne -1,$$ предела при $$x\to 2$$ нет.

   Следовательно, функция не является непрерывной на всей числовой прямой.

   Функция непрерывна на промежутках $$(0;2)$$ и $$(2;+\infty).$$

3. $$f(x)=\begin{cases}|x-2|, & x<2,\\ |x-4|, & x>2.\end{cases}$$

   При $$x\to 2-$$ имеем $$|x-2|\to |2-2|=0.$$

   При $$x\to 2+$$ имеем $$|x-4|\to |2-4|=2.$$

   Так как $$0\ne 2,$$ предела при $$x\to 2$$ нет.

   В точке $$x=2$$ функция не задана, значит, она не непрерывна на всей числовой прямой.

   Функция непрерывна на промежутках $$(-\infty;2)$$ и $$(2;+\infty).$$

4. $$f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{x-1}, & x\ge 2,\\ x-1, & x<2.\end{cases}$$

   При $$x\to 2-$$ имеем $$x-1\to 1.$$

   При $$x\to 2+$$ имеем $$\dfrac{1}{x-1}\to \dfrac{1}{2-1}=1.$$

   Следовательно, $$\lim\limits_{x\to 2}f(x)=1.$$

   В точке $$x=2$$ обе части дают одно и то же значение, значит, функция непрерывна в этой точке. На каждом из своих промежутков задания она также непрерывна.

   Итак, функция непрерывна на всей числовой прямой.

Ответ

1. а) $$\lim\limits_{x\to 2}f(x)=4$$; б) нет; в) $$(-\infty;2)\cup(2;+\infty).$$

2. а) предела при $$x\to 2$$ нет; б) нет; в) $$(0;2)\cup(2;+\infty).$$

3. а) предела при $$x\to 2$$ нет; б) нет; в) $$(-\infty;2)\cup(2;+\infty).$$

4. а) $$\lim\limits_{x\to 2}f(x)=1$$; б) да; в) $$(-\infty;+\infty).$$