Упр.152 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

1) f(x) = система
2x при x < 2, 4 + корень x-2 при x > 2;
2) f(x) = система
log2x при x < =2, x2-4x+3 при x > 2;
3) f(x) = система
|x-2| при x < 2, |x-4| при x > 2;
4) f(x) = система
1/x-1 при x > =2,
x -1 при x < 2. Выяснить: а) имеет ли эта функция предел при х - > 2; б) является ли эта функция непрерывной на всей числовой прямой; в) на каких промежутках функция непрерывна.

Подробный ответ

$$f(x)=\begin{cases}2^x, & x<2,\\ 4+\sqrt{x-2}, & x>2.\end{cases}$$
При $$x\to 2-$$ имеем $$2^x\to 2^2=4.$$
При $$x\to 2+$$ имеем $$4+\sqrt{x-2}\to 4+\sqrt{0}=4.$$
Значит, $$\lim\limits_{x\to 2}f(x)=4.$$
В точке $$x=2$$ функция не задана, поэтому она не является непрерывной на всей числовой прямой.
Функция непрерывна на промежутках $$(-\infty;2)$$ и $$(2;+\infty).$$
$$f(x)=\begin{cases}\log_2 x, & x\le 2,\\ x^2-4x+3, & x>2.\end{cases}$$
При $$x\to 2-$$ имеем $$\log_2 x\to \log_2 2=1.$$
При $$x\to 2+$$ имеем $$x^2-4x+3\to 2^2-4\cdot 2+3=-1.$$
Так как $$1\ne -1,$$ предела при $$x\to 2$$ нет.
Следовательно, функция не является непрерывной на всей числовой прямой.
Функция непрерывна на промежутках $$(0;2)$$ и $$(2;+\infty).$$
$$f(x)=\begin{cases}|x-2|, & x<2,\\ |x-4|, & x>2.\end{cases}$$
При $$x\to 2-$$ имеем $$|x-2|\to |2-2|=0.$$
При $$x\to 2+$$ имеем $$|x-4|\to |2-4|=2.$$
Так как $$0\ne 2,$$ предела при $$x\to 2$$ нет.
В точке $$x=2$$ функция не задана, значит, она не непрерывна на всей числовой прямой.
Функция непрерывна на промежутках $$(-\infty;2)$$ и $$(2;+\infty).$$
$$f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{x-1}, & x\ge 2,\\ x-1, & x<2.\end{cases}$$
При $$x\to 2-$$ имеем $$x-1\to 1.$$
При $$x\to 2+$$ имеем $$\dfrac{1}{x-1}\to \dfrac{1}{2-1}=1.$$
Следовательно, $$\lim\limits_{x\to 2}f(x)=1.$$
В точке $$x=2$$ обе части дают одно и то же значение, значит, функция непрерывна в этой точке. На каждом из своих промежутков задания она также непрерывна.
Итак, функция непрерывна на всей числовой прямой.