Упр.15 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Доказать, что функция $$y=f(x)$$ является периодической с периодом $$T$$, если:
1) $$y=\sin 2x$$, $$T=\pi$$;
2) $$y=\cos x/2$$, $$T=4\pi$$;
3) $$y=\tg 2x$$, $$T=\frac{\pi}{2}$$;
4) $$y=\sin 4x/5$$, $$T=\frac{5}{2}\pi$$.

1. Для функции $$y=\sin 2x$$ проверим период $$T=\pi$$:

   $$y(x-\pi)=\sin 2(x-\pi)=\sin(2x-2\pi)=\sin 2x=y(x),$$
   $$y(x+\pi)=\sin 2(x+\pi)=\sin(2x+2\pi)=\sin 2x=y(x).$$
   Следовательно, $$T=\pi$$ — период функции.

2. Для функции $$y=\cos \frac{x}{2}$$ проверим период $$T=4\pi$$:

   $$y(x-4\pi)=\cos \frac{x-4\pi}{2}=\cos\left(\frac{x}{2}-2\pi\right)=\cos \frac{x}{2}=y(x),$$
   $$y(x+4\pi)=\cos \frac{x+4\pi}{2}=\cos\left(\frac{x}{2}+2\pi\right)=\cos \frac{x}{2}=y(x).$$
   Следовательно, $$T=4\pi$$ — период функции.

3. Для функции $$y=\tg 2x$$ проверим период $$T=\frac{\pi}{2}$$:

   $$y\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=\tg\left(2x-\pi\right)=\tg 2x=y(x),$$
   $$y\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\tg\left(2x+\pi\right)=\tg 2x=y(x).$$
   Следовательно, $$T=\frac{\pi}{2}$$ — период функции.

4. Для функции $$y=\sin \frac{4x}{5}$$ проверим период $$T=\frac{5\pi}{2}$$:

   $$y\left(x-\frac{5\pi}{2}\right)=\sin \frac{4}{5}\left(x-\frac{5\pi}{2}\right)=\sin\left(\frac{4x}{5}-2\pi\right)=\sin \frac{4x}{5}=y(x),$$
   $$y\left(x+\frac{5\pi}{2}\right)=\sin \frac{4}{5}\left(x+\frac{5\pi}{2}\right)=\sin\left(\frac{4x}{5}+2\pi\right)=\sin \frac{4x}{5}=y(x).$$
   Следовательно, $$T=\frac{5\pi}{2}$$ — период функции.

Ответ

Во всех четырёх случаях данная функция является периодической с указанным периодом.