Упр.149 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти область определения и множество значений функции:
   
   1) $$y=x^2-3x-4$$;
   
   2) $$y=3-2x-x^2$$;
   
   3) $$y=1/x-1$$;
   
   4) $$y=2+x/x+1$$.

1. $$y=x^2-3x-4$$

   Это квадратный трёхчлен, поэтому область определения:

   $$D(x)=\mathbb{R}.$$

   Найдём вершину параболы:

   $$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-3}{2\cdot 1}=\frac{3}{2}.$$

   $$y_0=\left(\frac{3}{2}\right)^2-3\cdot \frac{3}{2}-4 =\frac{9}{4}-\frac{9}{2}-4 =-\frac{25}{4}.$$

   Так как ветви параболы направлены вверх, то наименьшее значение функции равно $$-\frac{25}{4}$$.

   $$E(y)=\left[-\frac{25}{4};+\infty\right).$$

2. $$y=3-2x-x^2$$

   Это квадратный трёхчлен, значит:

   $$D(x)=\mathbb{R}.$$

   Найдём вершину параболы:

   $$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2\cdot(-1)}=-1.$$

   $$y_0=3-2(-1)-(-1)^2=3+2-1=4.$$

   Так как ветви параболы направлены вниз, то наибольшее значение функции равно $$4$$.

   $$E(y)=(-\infty;4].$$

3. $$y=\frac{1}{x-1}$$

   Знаменатель не должен обращаться в нуль:

   $$x-1\ne 0,\quad x\ne 1.$$

   Значит,

   $$D(x)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty).$$

   Дробь не может быть равна нулю, поэтому

   $$E(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

4. $$y=\frac{x+2}{x+1}$$

   Знаменатель не должен равняться нулю:

   $$x+1\ne 0,\quad x\ne -1.$$

   Следовательно,

   $$D(x)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty).$$

   Преобразуем функцию:

   $$y=\frac{x+2}{x+1}=\frac{(x+1)+1}{x+1}=1+\frac{1}{x+1}.$$

   Так как $$\frac{1}{x+1}\ne 0$$, то $$y\ne 1$$.

   $$E(y)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty).$$

Ответ

1) $$D(x)=\mathbb{R},\quad E(y)=\left[-\frac{25}{4};+\infty\right).$$
2) $$D(x)=\mathbb{R},\quad E(y)=(-\infty;4].$$
3) $$D(x)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty),\quad E(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
4) $$D(x)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty),\quad E(y)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty).$$