Упр.144 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти вертикальные асимптоты графика функции:

1. $$f(x)=\frac{1}{x^2-4}$$;
2. $$f(x)=\frac{x+1}{2x+3}$$;
3. $$f(x)=\frac{1}{x^2+x-2}$$;
4. $$f(x)=\frac{1}{x^2-|x|}$$.

1. $$f(x)=\frac{1}{x^2-4}$$

   Вертикальные асимптоты находятся из условия обращения знаменателя в нуль:

   $$x^2-4=0$$

   $$x^2=4$$

   $$x=\pm 2$$

   Следовательно, вертикальные асимптоты: $$x=-2$$ и $$x=2$$.

2. $$f(x)=\frac{x+1}{2x+3}$$

   Знаменатель равен нулю при:

   $$2x+3=0$$

   $$x=-\frac{3}{2}$$

   Числитель при этом не обращается в нуль, значит, это вертикальная асимптота.

   Ответ: $$x=-\frac{3}{2}$$.

3. $$f(x)=\frac{1}{x^2+x-2}$$

   Найдём нули знаменателя:

   $$x^2+x-2=0$$

   $$D=1^2-4\cdot 1\cdot(-2)=9$$

   $$x_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{2}$$

   $$x_1=-2,\quad x_2=1$$

   Следовательно, вертикальные асимптоты: $$x=-2$$ и $$x=1$$.

4. $$f(x)=\frac{1}{x^2-|x|}$$

   Решим уравнение знаменателя:

   $$x^2-|x|=0$$

   $$|x|(|x|-1)=0$$

   Отсюда:

   $$|x|=0 \Rightarrow x=0$$

   $$|x|-1=0 \Rightarrow |x|=1 \Rightarrow x=\pm 1$$

   Значит, вертикальные асимптоты: $$x=-1$$, $$x=0$$, $$x=1$$.

Ответ

1) $$x=-2,\ x=2$$; 2) $$x=-\frac{3}{2}$$; 3) $$x=-2,\ x=1$$; 4) $$x=-1,\ x=0,\ x=1$$.