Упр.143 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Используя определение предела, доказать, что:

1. $$\lim_{x\to 2}(x^2-4x+6)=2$$;
2. $$\lim_{x\to 1}\bigl((x-1)^4+3\bigr)=3$$.

Используем определение предела: чтобы доказать, что $$\lim\limits_{x\to a} f(x)=A,$$ достаточно показать, что при любом $$\varepsilon>0$$ можно подобрать $$\delta>0$$ так, что из $$0<|x-a|<\delta$$ следует $$|f(x)-A|<\varepsilon$$.

1. Пусть $$f(x)=x^2-4x+6,$$ $$a=2,$$ $$A=2.$$ Тогда

   $$|f(x)-2|=|x^2-4x+6-2|=|x^2-4x+4|=|(x-2)^2|=(x-2)^2.$$

   Если выбрать $$\delta=\sqrt{\varepsilon},$$ то из $$0<|x-2|<\delta$$ следует

   $$|f(x)-2|=(x-2)^2<\delta^2=\varepsilon.$$

   Значит, $$\lim\limits_{x\to 2}(x^2-4x+6)=2.$$

2. Пусть $$f(x)=(x-1)^4+3,$$ $$a=1,$$ $$A=3.$$ Тогда

   $$|f(x)-3|=|(x-1)^4+3-3|=|(x-1)^4|=(x-1)^4.$$

   Если выбрать $$\delta=\sqrt[4]{\varepsilon},$$ то из $$0<|x-1|<\delta$$ следует

   $$|f(x)-3|=(x-1)^4<\delta^4=\varepsilon.$$

   Следовательно, $$\lim\limits_{x\to 1}\bigl((x-1)^4+3\bigr)=3.$$

Ответ

$$\lim\limits_{x\to 2}(x^2-4x+6)=2,$$ $$\lim\limits_{x\to 1}\bigl((x-1)^4+3\bigr)=3.$$