Упр.142 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти пределы слева и справа функции $$f(x)$$ в точке $$a$$, если:
   
   1) $$f(x)=\begin{cases}1-x^2, & x<0,\\ x+2, & x>0,\end{cases}\quad a=0$$;
   
   2) $$f(x)=3x-\frac{|x|}{2x},\quad a=0$$;
   
   3) $$f(x)=\begin{cases}|x|-1, & x<-1,\\ \sqrt{x+2}, & x>-1,\end{cases}\quad a=-1$$;
   
   4) $$f(x)=\begin{cases}x^2-2|x|, & x<-1,\\ x+3, & x>-1,\end{cases}\quad a=-1$$.

1. При $$x \to 0-$$ используем ветвь $$f(x)=1-x^2$$:

   $$\lim_{x\to 0-}(1-x^2)=1-0=1.$$

   При $$x \to 0+$$ используем ветвь $$f(x)=x+2$$:

   $$\lim_{x\to 0+}(x+2)=0+2=2.$$

2. Функция задана формулой $$f(x)=\dfrac{3x-|x|}{2x}$$, $$a=0$$.

   При $$x \to 0-$$ имеем $$|x|=-x$$, поэтому

   $$\lim_{x\to 0-}\frac{3x-|x|}{2x}=\lim_{x\to 0-}\frac{3x+x}{2x}=\lim_{x\to 0-}\frac{4x}{2x}=2.$$

   При $$x \to 0+$$ имеем $$|x|=x$$, поэтому

   $$\lim_{x\to 0+}\frac{3x-|x|}{2x}=\lim_{x\to 0+}\frac{3x-x}{2x}=\lim_{x\to 0+}\frac{2x}{2x}=1.$$

3. При $$x \to -1-$$ используем ветвь $$f(x)=|x|-1$$:

   $$\lim_{x\to -1-}(|x|-1)=|-1|-1=1-1=0.$$

   При $$x \to -1+$$ используем ветвь $$f(x)=\sqrt{x+2}$$:

   $$\lim_{x\to -1+}\sqrt{x+2}=\sqrt{-1+2}=1.$$

4. При $$x \to -1-$$ используем ветвь $$f(x)=x^2-2|x|$$:

   $$\lim_{x\to -1-}(x^2-2|x|)=(-1)^2-2|-1|=1-2=-1.$$

   При $$x \to -1+$$ используем ветвь $$f(x)=x+3$$:

   $$\lim_{x\to -1+}(x+3)=-1+3=2.$$

Ответ

1) $$1; 2$$

2) $$2; 1$$

3) $$0; 1$$

4) $$-1; 2$$