Упр.141 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Построить график функции $$y=f(x)$$ и найти $$\lim_{x\to a} f(x)$$, если:

1. $$f(x)=\frac{x^2}{|x|},\quad a=0$$;
2. $$f(x)=\frac{x^2-9}{x+3},\quad a=-3$$;
3. $$f(x)=\frac{x^3-1}{x-1},\quad a=1$$;
4. $$f(x)=\frac{2x^2-x-6}{x-2},\quad a=2$$.

1. $$f(x)=\frac{x^2}{|x|}=|x|,\quad x\ne 0.$$

   Тогда

   $$f(x)= \begin{cases} x, & x>0,\\ -x, & x<0. \end{cases}$$

   График — две полуоси прямых $$y=x$$ и $$y=-x$$ без точки $$x=0$$.

   $$\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{|x|}=\lim_{x\to 0}|x|=0.$$

2. $$f(x)=\frac{x^2-9}{x+3},\quad a=-3.$$

   Разложим числитель на множители:

   $$\frac{x^2-9}{x+3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x+3}=x-3,\quad x\ne -3.$$

   График — прямая $$y=x-3$$ с выколотой точкой при $$x=-3$$.

   $$\lim_{x\to -3}\frac{x^2-9}{x+3}=\lim_{x\to -3}(x-3)=-3-3=-6.$$

3. $$f(x)=\frac{x^3-1}{x-1},\quad a=1.$$

   Используем формулу разности кубов:

   $$\frac{x^3-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1}=x^2+x+1,\quad x\ne 1.$$

   График — парабола $$y=x^2+x+1$$ с выколотой точкой при $$x=1$$.

   $$\lim_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x-1}=\lim_{x\to 1}(x^2+x+1)=1+1+1=3.$$

4. $$f(x)=\frac{2x^2-x-6}{x-2},\quad a=2.$$

   Разложим числитель на множители:

   $$2x^2-x-6=(2x+3)(x-2).$$

   Тогда

   $$\frac{2x^2-x-6}{x-2}=\frac{(2x+3)(x-2)}{x-2}=2x+3,\quad x\ne 2.$$

   График — прямая $$y=2x+3$$ с выколотой точкой при $$x=2$$.

   $$\lim_{x\to 2}\frac{2x^2-x-6}{x-2}=\lim_{x\to 2}(2x+3)=4+3=7.$$

Ответ

1) $$0$$; 2) $$-6$$; 3) $$3$$; 4) $$7$$.