Упр.140 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 140 Найти lim n- > бесконечность 1/a1a2 + 1/a2a3 + … + 1/anan+1, , где {аk} — арифметическая прогрессия, все члены и разность d которой отличны от нуля. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 kolyagin11 140 118

Подробный ответ

Пусть

$$S_n=\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+\cdots+\frac{1}{a_na_{n+1}}.$$

Так как $$\{a_k\}$$ — арифметическая прогрессия, то $$a_k=a_1+(k-1)d$$, где $$d\neq 0$$. Тогда

$$a_k a_{k+1}=\bigl(a_1+(k-1)d\bigr)\bigl(a_1+kd\bigr).$$

Заметим, что

$$\frac{1}{a_ka_{k+1}}=\frac{1}{d}\left(\frac{1}{a_k}-\frac{1}{a_{k+1}}\right),$$

поскольку

$$\frac{1}{a_k}-\frac{1}{a_{k+1}}=\frac{a_{k+1}-a_k}{a_ka_{k+1}}=\frac{d}{a_ka_{k+1}}.$$

Тогда сумма телескопируется:

$$ S_n=\frac{1}{d}\left(\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_2}-\frac{1}{a_3}+\cdots+\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}}\right) =\frac{1}{d}\left(\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_{n+1}}\right). $$

Теперь найдём предел:

$$ \lim_{n\to\infty} S_n =\frac{1}{d}\left(\frac{1}{a_1}-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_{n+1}}\right). $$

Так как $$a_{n+1}=a_1+nd$$ и $$d\neq 0$$, то при $$n\to\infty$$ имеем $$|a_{n+1}|\to\infty$$, значит

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_{n+1}}=0.$$

Следовательно,

$$\lim_{n\to\infty} S_n=\frac{1}{da_1}.$$