Упр.140 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

Найти $$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+\dots+\frac{1}{a_na_{n+1}}\right)$$, где $$\{a_k\}$$ — арифметическая прогрессия, все члены и разность $$d$$ которой отличны от нуля.

Подробный ответ

Пусть

$$S_n=\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+\cdots+\frac{1}{a_na_{n+1}}.$$

Так как $$\{a_k\}$$ — арифметическая прогрессия, то $$a_k=a_1+(k-1)d$$, где $$d\neq 0$$. Тогда

$$a_k a_{k+1}=\bigl(a_1+(k-1)d\bigr)\bigl(a_1+kd\bigr).$$

Заметим, что

$$\frac{1}{a_ka_{k+1}}=\frac{1}{d}\left(\frac{1}{a_k}-\frac{1}{a_{k+1}}\right),$$

поскольку

$$\frac{1}{a_k}-\frac{1}{a_{k+1}}=\frac{a_{k+1}-a_k}{a_ka_{k+1}}=\frac{d}{a_ka_{k+1}}.$$

Тогда сумма телескопируется:

$$S_n=\frac{1}{d}\left(\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_2}-\frac{1}{a_3}+\cdots+\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}}\right) =\frac{1}{d}\left(\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_{n+1}}\right).$$

Теперь найдём предел:

$$\lim_{n\to\infty} S_n =\frac{1}{d}\left(\frac{1}{a_1}-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_{n+1}}\right).$$

Так как $$a_{n+1}=a_1+nd$$ и $$d\neq 0$$, то при $$n\to\infty$$ имеем $$|a_{n+1}|\to\infty$$, значит

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_{n+1}}=0.$$

Следовательно,

$$\lim_{n\to\infty} S_n=\frac{1}{da_1}.$$