Упр.14 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Доказать, что функция $$y=f(x)$$ является периодической с периодом $$2\pi$$, если:
   1) $$y=\cos x-1$$;
   2) $$y=\sin x+1$$;
   3) $$y=3\sin x$$;
   4) $$y=\cos x/2$$;
   5) $$y=\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$;
   6) $$y=\cos\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)$$.

Используем периодичность тригонометрических функций:

$$\sin(x\pm 2\pi)=\sin x,$$
$$\cos(x\pm 2\pi)=\cos x.$$

1. $$y=\cos x-1$$
   $$y(x-2\pi)=\cos(x-2\pi)-1=\cos x-1=y(x),$$
   $$y(x+2\pi)=\cos(x+2\pi)-1=\cos x-1=y(x).$$
   Следовательно, функция периодическая с периодом $$2\pi$$.

2. $$y=\sin x+1$$
   $$y(x-2\pi)=\sin(x-2\pi)+1=\sin x+1=y(x),$$
   $$y(x+2\pi)=\sin(x+2\pi)+1=\sin x+1=y(x).$$
   Следовательно, функция периодическая с периодом $$2\pi$$.

3. $$y=3\sin x$$
   $$y(x-2\pi)=3\sin(x-2\pi)=3\sin x=y(x),$$
   $$y(x+2\pi)=3\sin(x+2\pi)=3\sin x=y(x).$$
   Следовательно, функция периодическая с периодом $$2\pi$$.

4. $$y=\frac{\cos x}{2}$$
   $$y(x-2\pi)=\frac{\cos(x-2\pi)}{2}=\frac{\cos x}{2}=y(x),$$
   $$y(x+2\pi)=\frac{\cos(x+2\pi)}{2}=\frac{\cos x}{2}=y(x).$$
   Следовательно, функция периодическая с периодом $$2\pi$$.

5. $$y=\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$
   $$y(x-2\pi)=\sin\left(x-2\pi-\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=y(x),$$
   $$y(x+2\pi)=\sin\left(x+2\pi-\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=y(x).$$
   Следовательно, функция периодическая с периодом $$2\pi$$.

6. $$y=\cos\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)$$
   $$y(x-2\pi)=\cos\left(x-2\pi+\frac{2\pi}{3}\right)=\cos\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)=y(x),$$
   $$y(x+2\pi)=\cos\left(x+2\pi+\frac{2\pi}{3}\right)=\cos\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)=y(x).$$
   Следовательно, функция периодическая с периодом $$2\pi$$.

Ответ

Во всех пунктах функция является периодической с периодом $$2\pi$$.