Упр.139 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

2) xn = корень 3 степени 8n3+2n2+1/n;
3) xn= корень 3n2+4n+1 — корень 3n2-2n+5;
4) xn = корень 3 степени n3+2n — n.

Подробный ответ

$$x_n=\sqrt[3]{\frac{n^2+2n+3}{4n^2-n+2}}.$$
Разделим числитель и знаменатель под корнем на $$n^2$$:
$$ x_n=\sqrt[3]{\frac{1+\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}}{4-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}}. $$
При $$n\to\infty$$ получаем:
$$ \lim_{n\to\infty}x_n=\sqrt[3]{\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt[3]{2}}{2}. $$
$$x_n=\frac{\sqrt[3]{8n^3+2n^2+1}}{n}.$$
Вынесем $$n^3$$ из-под кубического корня:
$$ x_n=\frac{\sqrt[3]{n^3\left(8+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^3}\right)}}{n} =\sqrt[3]{8+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^3}}. $$
Тогда
$$ \lim_{n\to\infty}x_n=\sqrt[3]{8}=2. $$
$$x_n=\sqrt{3n^2+4n+1}-\sqrt{3n^2-2n+5}.$$
Умножим и разделим на сопряжённое выражение:
$$ x_n=\frac{(3n^2+4n+1)-(3n^2-2n+5)}{\sqrt{3n^2+4n+1}+\sqrt{3n^2-2n+5}} =\frac{6n-4}{\sqrt{3n^2+4n+1}+\sqrt{3n^2-2n+5}}. $$
Делим числитель и знаменатель на $$n$$:
$$ x_n=\frac{6-\frac{4}{n}}{\sqrt{3+\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{3-\frac{2}{n}+\frac{5}{n^2}}}. $$
При $$n\to\infty$$:
$$ \lim_{n\to\infty}x_n=\frac{6}{2\sqrt{3}}=\sqrt{3}. $$
$$x_n=\sqrt[3]{n^3+2n}-n.$$
Вынесем $$n^3$$ из-под корня:
$$ x_n=n\sqrt[3]{1+\frac{2}{n^2}}-n =n\left(\sqrt[3]{1+\frac{2}{n^2}}-1\right). $$
Так как $$\sqrt[3]{1+\frac{2}{n^2}}\to 1$$ при $$n\to\infty$$, то
$$ \lim_{n\to\infty}x_n=0. $$