Упр.139 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$x_n=\sqrt[3]{\frac{n^2+2n+3}{4n^2-n+2}}$$
2. $$x_n=\sqrt[3]{8n^3+2n^2+\frac{1}{n}}$$
3. $$x_n=\sqrt[3]{3n^2+4n+1}-\sqrt[3]{3n^2-2n+5}$$
4. $$x_n=\sqrt[3]{n^3+2n}-n$$

1. $$x_n=\sqrt[3]{\frac{n^2+2n+3}{4n^2-n+2}}.$$
   Разделим числитель и знаменатель под корнем на $$n^2$$:
   $$x_n=\sqrt[3]{\frac{1+\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}}{4-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}}.$$
   При $$n\to\infty$$ получаем:
   $$\lim_{n\to\infty}x_n=\sqrt[3]{\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt[3]{2}}{2}.$$

2. $$x_n=\frac{\sqrt[3]{8n^3+2n^2+1}}{n}.$$
   Вынесем $$n^3$$ из-под кубического корня:
   $$x_n=\frac{\sqrt[3]{n^3\left(8+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^3}\right)}}{n} =\sqrt[3]{8+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^3}}.$$
   Тогда
   $$\lim_{n\to\infty}x_n=\sqrt[3]{8}=2.$$

3. $$x_n=\sqrt{3n^2+4n+1}-\sqrt{3n^2-2n+5}.$$
   Умножим и разделим на сопряжённое выражение:
   $$x_n=\frac{(3n^2+4n+1)-(3n^2-2n+5)}{\sqrt{3n^2+4n+1}+\sqrt{3n^2-2n+5}} =\frac{6n-4}{\sqrt{3n^2+4n+1}+\sqrt{3n^2-2n+5}}.$$
   Делим числитель и знаменатель на $$n$$:
   $$x_n=\frac{6-\frac{4}{n}}{\sqrt{3+\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{3-\frac{2}{n}+\frac{5}{n^2}}}.$$
   При $$n\to\infty$$:
   $$\lim_{n\to\infty}x_n=\frac{6}{2\sqrt{3}}=\sqrt{3}.$$

4. $$x_n=\sqrt[3]{n^3+2n}-n.$$
   Вынесем $$n^3$$ из-под корня:
   $$x_n=n\sqrt[3]{1+\frac{2}{n^2}}-n =n\left(\sqrt[3]{1+\frac{2}{n^2}}-1\right).$$
   Так как $$\sqrt[3]{1+\frac{2}{n^2}}\to 1$$ при $$n\to\infty$$, то
   $$\lim_{n\to\infty}x_n=0.$$

Ответ

1) $$\frac{\sqrt[3]{2}}{2}$$; 2) $$2$$; 3) $$\sqrt{3}$$; 4) $$0$$.