Упр.138 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

Найти $$\lim_{n\to\infty} x_n$$:

1) $$x_n=\frac{5n+2}{3n+4}$$;

2) $$x_n=\frac{n^2-n+2}{3n^2+7}$$;

3) $$x_n=\frac{1}{3\cdot5}+\frac{1}{5\cdot7}+\ldots+\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$$;

4) $$x_n=\frac{1+2+\ldots+n}{n^2}$$;

5) $$x_n=\sqrt[3]{\frac{3n+5}{2n-1}}$$;

6) $$x_n=\sqrt{n^2-n+2}-n$$.

Подробный ответ

$$x_n=\frac{5n+2}{3n+4}$$
$$\lim_{n\to\infty}\frac{5n+2}{3n+4} =\lim_{n\to\infty}\frac{5+\frac{2}{n}}{3+\frac{4}{n}} =\frac{5}{3}.$$
$$x_n=\frac{n^2-n+2}{3n^2+7}$$
$$\lim_{n\to\infty}\frac{n^2-n+2}{3n^2+7} =\lim_{n\to\infty}\frac{1-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}{3+\frac{7}{n^2}} =\frac{1}{3}.$$
$$x_n=\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+\cdots+\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$$
Разложим общий член на простые дроби:
$$\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}\right).$$
Тогда
$$x_n=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}\right) =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}\right).$$
$$\lim_{n\to\infty}x_n=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-0\right)=\frac{1}{6}.$$
$$x_n=\frac{1+2+\cdots+n}{n^2}$$
$$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2},$$
значит
$$x_n=\frac{n(n+1)}{2n^2}=\frac{n+1}{2n}=\frac{1+\frac{1}{n}}{2}.$$
$$\lim_{n\to\infty}x_n=\frac{1}{2}.$$
$$x_n=\sqrt{\frac{3n+5}{2n-1}}$$
$$\lim_{n\to\infty}x_n=\sqrt{\lim_{n\to\infty}\frac{3n+5}{2n-1}} =\sqrt{\lim_{n\to\infty}\frac{3+\frac{5}{n}}{2-\frac{1}{n}}} =\sqrt{\frac{3}{2}}.$$
$$x_n=\sqrt{n^2-n+2}-n$$
Рационализуем выражение:
$$x_n=\frac{\left(\sqrt{n^2-n+2}-n\right)\left(\sqrt{n^2-n+2}+n\right)}{\sqrt{n^2-n+2}+n} =\frac{2-n}{\sqrt{n^2-n+2}+n}.$$
Делим числитель и знаменатель на $$n$$:
$$x_n=\frac{\frac{2}{n}-1}{\sqrt{1-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}+1}.$$
$$\lim_{n\to\infty}x_n=\frac{0-1}{1+1}=-\frac{1}{2}.$$