Упр.137 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Доказать, что последовательность $$\{x_n\}$$ является ограниченной, если:
   1) $$x_n=\sin\frac{\pi\sqrt{n}}{4}$$;
   2) $$x_n=\frac{n+2}{n^2+4}$$;
   3) $$x_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{2n}$$.

1. $$x_n=\sin\frac{\pi\sqrt{n}}{4}$$

   Так как для любого значения аргумента

   $$-1\le \sin t \le 1,$$

   то и для последовательности получаем

   $$-1\le \sin\frac{\pi\sqrt{n}}{4}\le 1.$$

   Значит, последовательность ограничена.

2. $$x_n=\frac{n+2}{n^2+4}$$

   При $$n\ge 1$$ числитель и знаменатель положительны. Кроме того,

   $$n^2+4-(n+2)=n^2-n+2.$$

   Рассмотрим квадратный трёхчлен:

   $$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot 2=1-8=-7<0,$$

   а старший коэффициент положителен, значит

   $$n^2-n+2>0.$$

   Следовательно,

   $$n+2<n^2+4,$$

   и потому

   $$0<\frac{n+2}{n^2+4}<1.$$

   Значит, последовательность ограничена.

3. $$x_n=\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{2n}$$

   Для каждого слагаемого верно

   $$\frac1{2n}\le \frac1{n+k}\le \frac1{n+1}\le \frac1n,\qquad k=1,2,\dots,n.$$

   Тогда сумма удовлетворяет оценкам

   $$n\cdot \frac1{2n}\le x_n\le n\cdot \frac1n,$$

   то есть

   $$\frac12\le x_n\le 1.$$

   Следовательно, последовательность ограничена.

Ответ

Во всех трёх случаях последовательность ограничена.