Упр.136 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти предел последовательности $$\{x_n\}$$, если:

1. $$x_n=\frac{n-1}{n}$$;
2. $$x_n=\frac{2n^2-1}{n^2}$$;
3. $$x_n=\frac{3n+4}{n}$$;
4. $$x_n=\frac{n-3}{n+1}$$.

1. $$x_n=\frac{n-1}{n}=\frac{n}{n}-\frac{1}{n}=1-\frac{1}{n}$$
   При $$n\to\infty$$ имеем $$\frac{1}{n}\to 0$$, значит
   $$\lim_{n\to\infty} x_n=1-0=1.$$
2. $$x_n=\frac{2n^2-1}{n^2}=\frac{2n^2}{n^2}-\frac{1}{n^2}=2-\frac{1}{n^2}$$
   При $$n\to\infty$$ имеем $$\frac{1}{n^2}\to 0$$, значит
   $$\lim_{n\to\infty} x_n=2-0=2.$$
3. $$x_n=\frac{3n+4}{n}=\frac{3n}{n}+\frac{4}{n}=3+\frac{4}{n}$$
   При $$n\to\infty$$ имеем $$\frac{4}{n}\to 0$$, значит
   $$\lim_{n\to\infty} x_n=3+0=3.$$
4. $$x_n=\frac{n-3}{n+1}=\frac{n\left(1-\frac{3}{n}\right)}{n\left(1+\frac{1}{n}\right)}=\frac{1-\frac{3}{n}}{1+\frac{1}{n}}$$
   При $$n\to\infty$$ числитель стремится к $$1$$, знаменатель — к $$1$$, значит
   $$\lim_{n\to\infty} x_n=\frac{1}{1}=1.$$

Ответ

1) $$1$$; 2) $$2$$; 3) $$3$$; 4) $$1$$.