Упр.135 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Исходя из определения предела последовательности, доказать, что $$\lim_{n\to\infty} x_n=0$$:
   
   1) $$x_n=\frac{1}{n+1}$$;
   
   2) $$x_n=\frac{1}{\sqrt[3]{n}}$$;
   
   3) $$x_n=\frac{1}{n^3}$$;
   
   4) $$x_n=\frac{1}{2^n}$$;
   
   5) $$x_n=\frac{1}{3n+2}$$;
   
   6) $$x_n=\frac{n+1}{n^2}$$.

1. $$x_n=\frac{1}{n+1}$$

   Пусть $$\varepsilon>0$$. Тогда достаточно выбрать $$N>\frac{1}{\varepsilon}-1$$. При всех $$n\ge N$$ имеем

   $$\left|x_n\right|=\frac{1}{n+1}\le \frac{1}{N+1}<\varepsilon.$$

   Значит, $$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0.$$

2. $$x_n=\frac{1}{\sqrt[3]{n}}$$

   Пусть $$\varepsilon>0$$. Тогда из неравенства

   $$\frac{1}{\sqrt[3]{n}}<\varepsilon$$

   получаем

   $$n>\frac{1}{\varepsilon^3}.$$

   Достаточно взять $$N>\frac{1}{\varepsilon^3}$$. Тогда при всех $$n\ge N$$

   $$\left|x_n\right|=\frac{1}{\sqrt[3]{n}}\le \frac{1}{\sqrt[3]{N}}<\varepsilon.$$

   Следовательно, $$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0.$$

3. $$x_n=\frac{1}{n^3}$$

   Пусть $$\varepsilon>0$$. Тогда достаточно выбрать $$N>\sqrt[3]{\frac{1}{\varepsilon}}$$. При всех $$n\ge N$$

   $$\left|x_n\right|=\frac{1}{n^3}\le \frac{1}{N^3}<\varepsilon.$$

   Значит, $$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0.$$

4. $$x_n=\frac{1}{2^n}$$

   Пусть $$\varepsilon>0$$. Нужно, чтобы

   $$\frac{1}{2^n}<\varepsilon \quad \Longleftrightarrow \quad 2^n>\frac{1}{\varepsilon}.$$

   Так как показательная функция возрастает, можно взять

   $$N>\log_2\frac{1}{\varepsilon}.$$

   Тогда при всех $$n\ge N$$

   $$\left|x_n\right|=\frac{1}{2^n}\le \frac{1}{2^N}<\varepsilon.$$

   Следовательно, $$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0.$$

5. $$x_n=\frac{1}{3n+2}$$

   Пусть $$\varepsilon>0$$. Тогда достаточно, чтобы

   $$\frac{1}{3n+2}<\varepsilon \quad \Longleftrightarrow \quad 3n+2>\frac{1}{\varepsilon}.$$

   Отсюда

   $$n>\frac{1}{3\varepsilon}-\frac{2}{3}.$$

   Выберем $$N>\frac{1}{3\varepsilon}-\frac{2}{3}$$. Тогда при всех $$n\ge N$$

   $$\left|x_n\right|=\frac{1}{3n+2}\le \frac{1}{3N+2}<\varepsilon.$$

   Значит, $$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0.$$

6. $$x_n=\frac{n+1}{n^2}=\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}$$

   Пусть $$\varepsilon>0$$. При достаточно больших $$n$$ имеем

   $$\frac{1}{n}<\frac{\varepsilon}{2}, \qquad \frac{1}{n^2}<\frac{\varepsilon}{2}.$$

   Тогда

   $$\left|x_n\right|=\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.$$

   Следовательно, $$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0.$$

Ответ

Во всех случаях $$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0.$$