Упр.134 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Изобразить на числовой прямой несколько членов последовательности $$\{x_n\}$$ и выяснить, к какому числу они приближаются:
   
   1) $$x_n=\frac{1}{n}$$;
   
   2) $$x_n=\frac{(-1)^n}{n}$$;
   
   3) $$x_n=n+\frac{1}{n}$$;
   
   4) $$x_n=n-\frac{2}{n}$$.

1. $$x_n=\frac{1}{n}$$

   Первые члены последовательности:

   $$x_1=1,\quad x_2=\frac12,\quad x_3=\frac13,\quad x_4=\frac14,\dots$$

   При увеличении $$n$$ значения $$\frac{1}{n}$$ становятся всё меньше и стремятся к нулю.

   $$x_n \to 0$$

2. $$x_n=\frac{(-1)^n}{n}$$

   Первые члены последовательности:

   $$x_1=-1,\quad x_2=\frac12,\quad x_3=-\frac13,\quad x_4=\frac14,\dots$$

   Знаки членов чередуются, а их модуль равен $$\frac{1}{n}$$ и стремится к нулю.

   Следовательно,

   $$x_n \to 0$$

3. $$x_n=\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}$$

   Первые члены последовательности:

   $$x_1=2,\quad x_2=\frac32,\quad x_3=\frac43,\quad x_4=\frac54,\dots$$

   Так как $$\frac{1}{n}\to 0$$, то

   $$x_n=1+\frac{1}{n}\to 1$$

4. $$x_n=\frac{n-2}{n}=1-\frac{2}{n}$$

   Первые члены последовательности:

   $$x_1=-1,\quad x_2=0,\quad x_3=\frac13,\quad x_4=\frac12,\dots$$

   Так как $$\frac{2}{n}\to 0$$, то

   $$x_n=1-\frac{2}{n}\to 1$$

Ответ

1) $$x_n \to 0$$; 2) $$x_n \to 0$$; 3) $$x_n \to 1$$; 4) $$x_n \to 1$$.