Упр.133 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Сечение канала — равнобедренный треугольник площади $$S$$. Каким должен быть угол при вершине этого треугольника, чтобы канал имел наименьший смоченный периметр (длина границы сечения, соприкасающаяся с водой)?

Пусть $$a$$ — боковая сторона равнобедренного треугольника, а $$\alpha$$ — угол при вершине. Тогда площадь сечения равна

$$S=\frac12 a^2\sin\alpha.$$

Отсюда

$$a^2=\frac{2S}{\sin\alpha}, \qquad a=\sqrt{\frac{2S}{\sin\alpha}}.$$

Смоченный периметр равен сумме двух боковых сторон:

$$P=2a=2\sqrt{\frac{2S}{\sin\alpha}}.$$

При фиксированной площади $$S$$ этот периметр будет наименьшим, когда выражение $$\frac{1}{\sqrt{\sin\alpha}}$$ минимально, то есть когда $$\sin\alpha$$ максимально.

Максимальное значение синуса равно $$1$$, значит

$$\sin\alpha=1, \qquad \alpha=\frac{\pi}{2}=90^\circ.$$

Ответ

$$90^\circ$$