Упр.132 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Решить неравенство:

1. $$\sin x \geq \cos x$$;
2. $$\tg x > \sin x$$.

1. $$\sin x \ge \cos x$$

   Перенесём всё в одну сторону и используем формулу суммы:

   $$\sin x-\cos x\ge 0$$

   $$\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\ge 0$$

   Тогда

   $$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\ge 0$$

   Отсюда

   $$x-\frac{\pi}{4}\in[2\pi n;\,\pi+2\pi n],\quad n\in\mathbb Z.$$

   Следовательно,

   $$x\in\left[\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{4}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\tg x>\sin x$$

   Запишем через синус и косинус:

   $$\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x>0$$

   $$\sin x\left(\frac{1}{\cos x}-1\right)>0$$

   Рассмотрим знаки множителей. Область определения: $$\cos x\ne 0.$$

   1) Если $$\sin x>0$$, то нужно $$\frac{1}{\cos x}-1>0,$$ то есть $$\cos x>0$$ и $$\cos x<1.$$

   Это даёт

   $$2\pi n

   2) Если $$\sin x<0$$, то нужно $$\frac{1}{\cos x}-1<0,$$ то есть $$\cos x<0$$ или $$\cos x>1$$. Так как $$\cos x\le 1,$$ остаётся $$\cos x<0.$$

   Это даёт

   $$\pi+2\pi n

   Объединяя, получаем

   $$x\in\left(2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)\cup\left(\pi+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x\in\left[\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{4}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$x\in\left(2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)\cup\left(\pi+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$