Упр.131 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1) у = 12sinx — 5cosx;
2) у = cos2x — sinx.

1) $$y=12\sin x-5\cos x$$

Представим выражение в виде одной тригонометрической функции:

$$ y=\sqrt{12^2+5^2}\left(\frac{12}{13}\sin x-\frac{5}{13}\cos x\right) =13\sin(x-\varphi), $$

где $$\cos\varphi=\frac{12}{13},\ \sin\varphi=\frac{5}{13}.$$

Так как $$-1\le \sin(x-\varphi)\le 1,$$ то

$$-13\le y\le 13.$$

2) $$y=\cos^2 x-\sin x$$

Используем формулу $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$:

$$ y=1-\sin^2 x-\sin x. $$

Дополнем до квадрата:

$$ y=-\left(\sin^2 x+\sin x+\frac14\right)+\frac54 =-\left(\sin x+\frac12\right)^2+\frac54. $$

Так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ то

$$ -\frac12\le \sin x+\frac12\le \frac32, $$

следовательно,

$$ 0\le \left(\sin x+\frac12\right)^2\le \frac94. $$

Тогда

$$ -\frac94+\frac54\le y\le \frac54, $$

то есть

$$ -1\le y\le \frac54. $$

Ответ

1) $$E(y)=[-13;13]$$

2) $$E(y)=\left[-1;\frac54\right]$$