Упр.130 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Построить график функции:
   1) $$y=2\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)-2$$;
   2) $$y=\cos x-\sqrt{\cos 2x}$$;
   3) $$y=\cos|x|$$;
   4) $$y=-\sin x$$;
   5) $$y=\sin x+|\sin x|$$;
   6) $$y=2\sin x$$.

1. $$y=2\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)-2.$$

   Это график функции $$y=\sin x$$, растянутый по оси $$Ox$$ в 2 раза, затем растянутый по оси $$Oy$$ в 2 раза, сдвинутый влево на $$\frac{2\pi}{3}$$ и вниз на $$2$$.

2. $$y=\cos x-\sqrt{\cos^2 x}=\cos x-|\cos x|.$$

   Если $$\cos x\ge 0$$, то

   $$y=\cos x-\cos x=0.$$

   Если $$\cos x<0$$, то

   $$y=\cos x+\cos x=2\cos x.$$

   Значит,

   $$y= \begin{cases} 0, & \cos x\ge 0,\\ 2\cos x, & \cos x<0. \end{cases}$$

3. $$y=\cos|x|.$$

   Так как $$\cos(-x)=\cos x$$, то $$\cos|x|=\cos x$$. Следовательно, график совпадает с графиком функции $$y=\cos x$$.

4. $$y=-\sin x.$$

   Это график функции $$y=\sin x$$, отражённый относительно оси $$Ox$$.

5. $$y=\sin x+|\sin x|.$$

   Если $$\sin x\ge 0$$, то

   $$y=\sin x+\sin x=2\sin x.$$

   Если $$\sin x<0$$, то

   $$y=\sin x-\sin x=0.$$

   Значит,

   $$y= \begin{cases} 2\sin x, & \sin x\ge 0,\\ 0, & \sin x<0. \end{cases}$$

6. $$y=2^{\sin x}.$$

   Так как $$-1\le \sin x\le 1$$, то

   $$2^{-1}\le 2^{\sin x}\le 2^1,$$

   то есть

   $$\frac12\le y\le 2.$$

Ответ

1) $$y=2\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)-2$$;
2) $$y= \begin{cases} 0, & \cos x\ge 0,\\ 2\cos x, & \cos x<0 \end{cases}$$;
3) $$y=\cos x$$;
4) $$y=-\sin x$$;
5) $$y= \begin{cases} 2\sin x, & \sin x\ge 0,\\ 0, & \sin x<0 \end{cases}$$;
6) $$\frac12\le y\le 2$$.