Упр.13 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

2) y = cos(x-пи/2) — x2;
3) y=3-cos(пи/2 + x)sin(пи — x);
4) y=1/2cos2xsin(3пи/2 — 2x)+3;
5) y=x2 + 1+cosx/2.

Подробный ответ

$$y=\sin x+x$$
Область определения: $$x\in \mathbb{R}.$$
Проверим чётность:
$$y(-x)=\sin(-x)+(-x)=-\sin x-x=-y(x).$$
Следовательно, функция нечётная.
$$y=\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)-x^2$$
Так как $$\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=\sin x,$$ то
$$y=\sin x-x^2.$$
Область определения: $$x\in \mathbb{R}.$$
Проверим чётность:
$$y(-x)=\sin(-x)-(-x)^2=-\sin x-x^2.$$
Это не равно ни $$y(x),$$ ни $$-y(x).$$ Значит, функция ни чётная, ни нечётная.
$$y=3-\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)\sin(\pi-x)$$
Используем формулы:
$$\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x,\qquad \sin(\pi-x)=\sin x.$$
Тогда
$$y=3-(-\sin x)\sin x=3+\sin^2 x.$$
Область определения: $$x\in \mathbb{R}.$$
Проверим чётность:
$$y(-x)=3+\sin^2(-x)=3+\sin^2 x=y(x).$$
Следовательно, функция чётная.
$$y=\frac12\cos 2x\sin\left(\frac{3\pi}{2}-2x\right)+3$$
Так как $$\sin\left(\frac{3\pi}{2}-2x\right)=-\cos 2x,$$ то
$$y=\frac12\cos 2x\cdot(-\cos 2x)+3=3-\frac12\cos^2 2x.$$
Область определения: $$x\in \mathbb{R}.$$
Проверим чётность:
$$y(-x)=3-\frac12\cos^2(-2x)=3-\frac12\cos^2 2x=y(x).$$
Следовательно, функция чётная.
$$y=x^2+\frac{1+\cos x}{2}$$
Область определения: $$x\in \mathbb{R}.$$
Проверим чётность:
$$y(-x)=(-x)^2+\frac{1+\cos(-x)}{2}=x^2+\frac{1+\cos x}{2}=y(x).$$
Следовательно, функция чётная.