Упр.129 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти все значения $$x$$, при которых функция $$y=1{,}5-\frac{2\sin 2x}{2}$$ принимает положительные значения.

Преобразуем выражение:

$$y=1{,}5-2\sin^2\frac{x}{2}$$

Используем формулу $$2\sin^2\frac{x}{2}=1-\cos x$$:

$$y=1{,}5-(1-\cos x)=\frac12+\cos x.$$

Найдём, при каких значениях $$x$$ функция принимает положительные значения:

$$\frac12+\cos x>0,$$

$$\cos x>-\frac12.$$

Косинус больше $$-\frac12$$ на промежутках

$$-\frac{2\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$x\in\left(-\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{2\pi}{3}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$