Упр.127 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти нули функции:

1. $$y=\cos 2x-\cos x$$;
2. $$y=\cos x-\cos 2x-\sin 3x$$.

1. $$y=\cos^2 x-\cos x$$

   Найдём нули функции:

   $$\cos^2 x-\cos x=0$$

   $$\cos x(\cos x-1)=0$$

   Отсюда:

   $$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=1$$

   Тогда

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$y=\cos x-\cos 2x-\sin 3x$$

   Найдём нули функции:

   $$\cos x-\cos 2x-\sin 3x=0$$

   Используем формулы:

   $$\cos x-\cos 2x=2\sin\frac{3x}{2}\sin\frac{x}{2}$$

   $$\sin 3x=2\sin\frac{3x}{2}\cos\frac{3x}{2}$$

   Тогда

   $$2\sin\frac{3x}{2}\sin\frac{x}{2}-2\sin\frac{3x}{2}\cos\frac{3x}{2}=0$$

   $$2\sin\frac{3x}{2}\left(\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{3x}{2}\right)=0$$

   $$2\sin\frac{3x}{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}\right)-\cos\frac{3x}{2}\right)=0$$

   По формуле разности косинусов:

   $$\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$

   получаем

   $$2\sin\frac{3x}{2}\cdot\left(-2\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right)=0.$$

   Следовательно,

   $$\sin\frac{3x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)=0 \quad \text{или} \quad \sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=0.$$

   Отсюда:

   $$\frac{3x}{2}=\pi n \Rightarrow x=\frac{2\pi n}{3},$$

   $$\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}=\pi n \Rightarrow x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

   $$\frac{\pi}{4}-x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; x=2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\frac{2\pi n}{3},\; x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$