Упр.123 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
   а) $$y=\cos 4x-\sin 4x$$;
   б) $$y=\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$;
   в) $$y=1-2\left|\sin 3x\right|$$;
   г) $$y=\sin 2x-2\cos 2x$$.

1. $$y=\cos^4 x-\sin^4 x$$

   $$y=(\cos^2 x-\sin^2 x)(\cos^2 x+\sin^2 x)=\cos 2x$$

   Так как $$-1\le \cos 2x\le 1,$$ то наибольшее значение функции равно $$1,$$ а наименьшее — $$-1.$$

2. $$y=\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$

   Используем формулу произведения:

   $$y=\frac12\left(\cos\frac{\pi}{2}-\cos 2x\right)=-\frac12\cos 2x$$

   Так как $$-1\le \cos 2x\le 1,$$ то

   $$-\frac12\le -\frac12\cos 2x\le \frac12$$

   Следовательно, наибольшее значение равно $$\frac12,$$ а наименьшее — $$-\frac12.$$

3. $$y=1-2|\sin 3x|$$

   Поскольку $$0\le |\sin 3x|\le 1,$$ то

   $$-2\le -2|\sin 3x|\le 0$$

   Прибавим 1:

   $$-1\le 1-2|\sin 3x|\le 1$$

   Значит, наибольшее значение функции равно $$1,$$ а наименьшее — $$-1.$$

4. $$y=\sin^2 x-2\cos^2 x$$

   Так как $$\sin^2 x=1-\cos^2 x,$$ получаем

   $$y=1-\cos^2 x-2\cos^2 x=1-3\cos^2 x$$

   Поскольку $$0\le \cos^2 x\le 1,$$ то

   $$-3\le -3\cos^2 x\le 0$$

   Прибавим 1:

   $$-2\le 1-3\cos^2 x\le 1$$

   Следовательно, наибольшее значение равно $$1,$$ а наименьшее — $$-2.$$

Ответ

1) $$-1,\ 1$$; 2) $$-\frac12,\ \frac12$$; 3) $$-1,\ 1$$; 4) $$-2,\ 1$$.