Упр.122 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти область определения функции: 1) $$y=\operatorname{tg}\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)$$; 2) $$y=\sqrt{\operatorname{tg}x}$$.

1) Для функции $$y=\tg\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)$$ тангенс не определён, когда его аргумент равен $$\frac{\pi}{2}+\pi n$$, где $$n\in\mathbb{Z}$$.

Поэтому

$$2x+\frac{\pi}{6}\ne \frac{\pi}{2}+\pi n$$
$$2x\ne \frac{\pi}{3}+\pi n$$
$$x\ne \frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2}$$

Следовательно, область определения:

$$D=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2}\mid n\in\mathbb{Z}\right\}.$$

2) Для функции $$y=\sqrt{\tg x}$$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$\tg x\ge 0.$$

Тангенс неотрицателен на промежутках

$$\pi n\le x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}.$$

Значит, область определения:

$$D=\bigcup_{n\in\mathbb{Z}}\left[\pi n,\frac{\pi}{2}+\pi n\right).$$

Ответ

1) $$D=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2}\mid n\in\mathbb{Z}\right\}.$$
2) $$D=\bigcup_{n\in\mathbb{Z}}\left[\pi n,\frac{\pi}{2}+\pi n\right).$$