Упр.121 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Расположить в порядке убывания числа:

1. $$\operatorname{tg}\frac{15\pi}{14},\ \operatorname{tg}\frac{\pi}{3},\ \operatorname{tg}\left(-\frac{6\pi}{7}\right)$$;
2. $$\operatorname{tg}3,\ \operatorname{tg}1{,}8,\ \operatorname{tg}2,\ \operatorname{tg}4{,}5$$.

Используем периодичность тангенса: $$\tg(x+\pi)=\tg x.$$

1. $$\tg\frac{15\pi}{14}=\tg\left(\frac{15\pi}{14}-\pi\right)=\tg\frac{\pi}{14},$$

   $$\tg\left(-\frac{6\pi}{7}\right)=\tg\left(\pi-\frac{6\pi}{7}\right)=\tg\frac{\pi}{7}.$$

   Так как на промежутке $$\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$$ функция $$\tg x$$ возрастает, то

   $$\tg\frac{\pi}{14}<\tg\frac{\pi}{7}<\tg\frac{\pi}{3}.$$

   Значит, в порядке убывания:

   $$\tg\frac{\pi}{3},\ \tg\left(-\frac{6\pi}{7}\right),\ \tg\frac{15\pi}{14}.$$

2. $$\tg 1{,}8,\ \tg 2,\ \tg 3,\ \tg 4{,}5.$$

   Числа $$1{,}8,\ 2,\ 3$$ лежат между $$\frac{\pi}{2}$$ и $$\pi$$, а $$4{,}5$$ — между $$\pi$$ и $$\frac{3\pi}{2}$$. Поэтому:

   $$\tg 1{,}8<0,\quad \tg 2<0,\quad \tg 3<0,\quad \tg 4{,}5>0.$$

   На промежутке $$\left(\pi;\frac{3\pi}{2}\right)$$ функция $$\tg x$$ возрастает, а на $$\left(\frac{\pi}{2};\pi\right)$$ убывает по значениям тангенса от $$-\infty$$ к $$0$$. Поэтому среди отрицательных значений больше то, которое ближе к нулю:

   $$\tg 3<\tg 2<\tg 1{,}8.$$

   Следовательно, в порядке убывания:

   $$\tg 4{,}5,\ \tg 3,\ \tg 2,\ \tg 1{,}8.$$

Ответ

1) $$\tg\frac{\pi}{3},\ \tg\left(-\frac{6\pi}{7}\right),\ \tg\frac{15\pi}{14}$$;

2) $$\tg 4{,}5,\ \tg 3,\ \tg 2,\ \tg 1{,}8.$$