Упр.118 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти все принадлежащие промежутку $$[-2\pi;-\pi]$$ решения неравенства:
   1) $$1+2\cos x\geq 0$$;
   2) $$1-2\sin x<0$$;
   3) $$2+\tg x>0$$;
   4) $$1-2\tg x\leq 0$$.

1. $$1+2\cos x\ge 0$$
   $$2\cos x\ge -1$$
   $$\cos x\ge -\frac12$$
   На отрезке $$[-2\pi;\,-\pi]$$ это выполняется при
   $$x\in\left[-2\pi;\,-\frac{4\pi}{3}\right].$$
2. $$1-2\sin x<0$$
   $$2\sin x>1$$
   $$\sin x>\frac12$$
   На отрезке $$[-2\pi;\,-\pi]$$ получаем
   $$x\in\left(-\frac{11\pi}{6};\,-\frac{7\pi}{6}\right).$$
3. $$2+\tg x>0$$
   $$\tg x>-2$$
   Учитывая периодичность и точки разрыва функции $$\tg x$$, на отрезке $$[-2\pi;\,-\pi]$$ имеем
   $$x\in\left[-2\pi;\,-\frac{3\pi}{2}\right)\cup\left(-\pi-\arctg 2;\,-\pi\right].$$
4. $$1-2\tg x\le 0$$
   $$2\tg x\ge 1$$
   $$\tg x\ge \frac12$$
   Тогда на отрезке $$[-2\pi;\,-\pi]$$
   $$x\in\left[\arctg\frac12-2\pi;\,-\frac{3\pi}{2}\right).$$

Ответ

1) $$\left[-2\pi;\,-\frac{4\pi}{3}\right]$$;
2) $$\left(-\frac{11\pi}{6};\,-\frac{7\pi}{6}\right)$$;
3) $$\left[-2\pi;\,-\frac{3\pi}{2}\right)\cup\left(-\pi-\arctg 2;\,-\pi\right]$$;
4) $$\left[\arctg\frac12-2\pi;\,-\frac{3\pi}{2}\right)$$.