Упр.116 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
С помощью графиков функций $$y=\operatorname{tg}x$$ и $$y=\operatorname{ctg}x$$ найти все такие значения $$x$$ из заданного промежутка, при которых справедливо неравенство:
- $$\operatorname{tg}x\le\sqrt{3},\quad [-\pi;\pi]$$;
2) $$\operatorname{ctg}x\le1,\quad (-\pi;3\pi/2)$$;
3) $$\operatorname{ctg}x\ge-1,\quad [-\pi/2;2\pi)$$;
4) $$\operatorname{tg}x\ge-\sqrt{3},\quad (-3\pi/2;\pi]$$.
$$\tg x \le \sqrt{3}, \quad x \in [-\pi;\pi]$$
Так как $$\tg \frac{\pi}{3}=\sqrt{3},$$ то на каждом промежутке возрастания функции $$y=\tg x$$ получаем:
$$x \in \left[-\pi;-\frac{2\pi}{3}\right] \cup \left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{3}\right] \cup \left(\frac{\pi}{2};\pi\right].$$
$$\ctg x \le 1, \quad x \in \left(-\pi;\frac{3\pi}{2}\right]$$
Так как $$\ctg \frac{\pi}{4}=1,$$ а функция $$y=\ctg x$$ убывает на каждом промежутке своей области определения, то
$$x \in \left[-\frac{3\pi}{4};0\right) \cup \left[\frac{\pi}{4};\pi\right) \cup \left[\frac{5\pi}{4};\frac{3\pi}{2}\right].$$
$$\ctg x \ge -1, \quad x \in \left[-\frac{\pi}{2};2\pi\right)$$
Так как $$\ctg \frac{3\pi}{4}=-1,$$ то
$$x \in \left[-\frac{\pi}{2};-\frac{\pi}{4}\right] \cup \left(0;\frac{3\pi}{4}\right] \cup \left(\pi;\frac{7\pi}{4}\right].$$
$$\tg x \ge -\sqrt{3}, \quad x \in \left(-\frac{3\pi}{2};\pi\right]$$
Так как $$\tg\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\sqrt{3},$$ то
$$x \in \left[-\frac{4\pi}{3};-\frac{\pi}{2}\right) \cup \left[-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2}\right) \cup \left[\frac{2\pi}{3};\pi\right].$$
Ответ
1) $$\left[-\pi;-\frac{2\pi}{3}\right] \cup \left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{3}\right] \cup \left(\frac{\pi}{2};\pi\right]$$;
2) $$\left[-\frac{3\pi}{4};0\right) \cup \left[\frac{\pi}{4};\pi\right) \cup \left[\frac{5\pi}{4};\frac{3\pi}{2}\right]$$;
3) $$\left[-\frac{\pi}{2};-\frac{\pi}{4}\right] \cup \left(0;\frac{3\pi}{4}\right] \cup \left(\pi;\frac{7\pi}{4}\right]$$;
4) $$\left[-\frac{4\pi}{3};-\frac{\pi}{2}\right) \cup \left[-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2}\right) \cup \left[\frac{2\pi}{3};\pi\right]$$.
