Упр.116 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1) tgx < =корень 3, [-пи; пи]; 2) ctgx < =1, (-пи; 3пи/2); 3) ctgx > =-1, [-пи/2; 2пи);
4) tgx > =-корень 3, (-3пи/2; пи].

1. $$\tg x \le \sqrt{3}, \quad x \in [-\pi;\pi]$$

   Так как $$\tg \frac{\pi}{3}=\sqrt{3},$$ то на каждом промежутке возрастания функции $$y=\tg x$$ получаем:

   $$x \in \left[-\pi;-\frac{2\pi}{3}\right] \cup \left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{3}\right] \cup \left(\frac{\pi}{2};\pi\right].$$

2. $$\ctg x \le 1, \quad x \in \left(-\pi;\frac{3\pi}{2}\right]$$

   Так как $$\ctg \frac{\pi}{4}=1,$$ а функция $$y=\ctg x$$ убывает на каждом промежутке своей области определения, то

   $$x \in \left[-\frac{3\pi}{4};0\right) \cup \left[\frac{\pi}{4};\pi\right) \cup \left[\frac{5\pi}{4};\frac{3\pi}{2}\right].$$

3. $$\ctg x \ge -1, \quad x \in \left[-\frac{\pi}{2};2\pi\right)$$

   Так как $$\ctg \frac{3\pi}{4}=-1,$$ то

   $$x \in \left[-\frac{\pi}{2};-\frac{\pi}{4}\right] \cup \left(0;\frac{3\pi}{4}\right] \cup \left(\pi;\frac{7\pi}{4}\right].$$

4. $$\tg x \ge -\sqrt{3}, \quad x \in \left(-\frac{3\pi}{2};\pi\right]$$

   Так как $$\tg\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\sqrt{3},$$ то

   $$x \in \left[-\frac{4\pi}{3};-\frac{\pi}{2}\right) \cup \left[-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2}\right) \cup \left[\frac{2\pi}{3};\pi\right].$$

Ответ

1) $$\left[-\pi;-\frac{2\pi}{3}\right] \cup \left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{3}\right] \cup \left(\frac{\pi}{2};\pi\right]$$;
2) $$\left[-\frac{3\pi}{4};0\right) \cup \left[\frac{\pi}{4};\pi\right) \cup \left[\frac{5\pi}{4};\frac{3\pi}{2}\right]$$;
3) $$\left[-\frac{\pi}{2};-\frac{\pi}{4}\right] \cup \left(0;\frac{3\pi}{4}\right] \cup \left(\pi;\frac{7\pi}{4}\right]$$;
4) $$\left[-\frac{4\pi}{3};-\frac{\pi}{2}\right) \cup \left[-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2}\right) \cup \left[\frac{2\pi}{3};\pi\right]$$.