Упр.114 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

1) f(x) = sinx;
2) f(x) = cosx;
3) f(x) = tgx.

Подробный ответ

Рассмотрим значения функций на промежутке $$\left[-\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{3}\right].$$

$$f(x)=\sin x.$$
На данном промежутке функция $$\sin x$$ возрастает, значит наименьшее значение достигается при $$x=-\frac{\pi}{6},$$ а наибольшее — при $$x=\frac{\pi}{3}.$$
$$ \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac12,\qquad \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt3}{2}. $$
Следовательно,
$$E(y)=\left[-\frac12;\frac{\sqrt3}{2}\right].$$
$$f(x)=\cos x.$$
На промежутке $$\left[-\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{3}\right]$$ функция $$\cos x$$ убывает при $$x\ge 0,$$ а на отрезке в целом наибольшее значение достигается при $$x=0.$$
$$ \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt3}{2},\qquad \cos 0=1,\qquad \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac12. $$
Значит,
$$E(y)=\left[\frac12;1\right].$$
$$f(x)=\tg x.$$
Функция $$\tg x$$ возрастает на всём промежутке $$\left[-\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{3}\right].$$ Поэтому
$$ \tg\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{\sqrt3}=-\frac{\sqrt3}{3},\qquad \tg\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt3. $$
Следовательно,
$$E(y)=\left[-\frac{\sqrt3}{3};\sqrt3\right].$$