Упр.1134 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти первообразную функции: 1) $$y=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}$$; 2) $$y=\frac{3}{4x-1}$$.

1) $$y=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}.$$

Найдём первообразную по частям:

$$F(x)=\int \left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}\right)\,dx=\int \frac{1}{x+1}\,dx-\int \frac{1}{x-1}\,dx.$$

$$F(x)=\ln|x+1|-\ln|x-1|+C=\ln\left|\frac{x+1}{x-1}\right|+C.$$

2) $$y=\frac{3}{4x-1}.$$

Сделаем замену: $$u=4x-1,$$ тогда $$du=4\,dx,$$ то есть $$dx=\frac{du}{4}.$$

$$F(x)=\int \frac{3}{4x-1}\,dx=3\int \frac{1}{4x-1}\,dx=\frac{3}{4}\int \frac{1}{u}\,du.$$

$$F(x)=\frac{3}{4}\ln|u|+C=\frac{3}{4}\ln|4x-1|+C.$$

Ответ

1) $$F(x)=\ln\left|\frac{x+1}{x-1}\right|+C.$$

2) $$F(x)=\frac{3}{4}\ln|4x-1|+C.$$