Упр.1132 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 1132. Найти значения х, при которых f'(х) < = g'(x), если f(x) = x3 + x2 + x корень 3, g(x) = x корень 3 + 1.

Найдём производные функций:

$$f(x)=x^3+x^2+x\sqrt{3}, \qquad g(x)=x\sqrt{3}+1.$$

Тогда

$$f'(x)=3x^2+2x+\sqrt{3}, \qquad g'(x)=\sqrt{3}.$$

Решим неравенство $$f'(x)\le g'(x):$$

$$3x^2+2x+\sqrt{3}\le \sqrt{3}$$

$$3x^2+2x\le 0$$

$$x(3x+2)\le 0.$$

Произведение не положительно, когда $$x$$ лежит между корнями уравнения $$x(3x+2)=0$$:

$$x=-\frac{2}{3}, \qquad x=0.$$

Следовательно,

$$x\in\left[-\frac{2}{3};\,0\right].$$

Ответ

$$x\in\left[-\frac{2}{3};\,0\right].$$