Упр.1132 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти значения $$x$$, при которых $$f'(x)\leq g'(x)$$, если $$f(x)=x^3+x^2+x\sqrt{3}$$, $$g(x)=x\sqrt{3}+1$$.

Найдём производные функций:

$$f(x)=x^3+x^2+x\sqrt{3}, \qquad g(x)=x\sqrt{3}+1.$$

Тогда

$$f'(x)=3x^2+2x+\sqrt{3}, \qquad g'(x)=\sqrt{3}.$$

Решим неравенство $$f'(x)\le g'(x):$$

$$3x^2+2x+\sqrt{3}\le \sqrt{3}$$

$$3x^2+2x\le 0$$

$$x(3x+2)\le 0.$$

Произведение не положительно, когда $$x$$ лежит между корнями уравнения $$x(3x+2)=0$$:

$$x=-\frac{2}{3}, \qquad x=0.$$

Следовательно,

$$x\in\left[-\frac{2}{3};\,0\right].$$

Ответ

$$x\in\left[-\frac{2}{3};\,0\right].$$