Упр.1131 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 1131. Дана функция f(x)= 1+sin2x/1-sin2x. Найти f'(0), f'(пи/6).

Подробный ответ

Найдём производную функции

$$f(x)=\frac{1+\sin 2x}{1-\sin 2x}.$$

По формуле производной частного:

$$ f'(x)=\frac{(1+\sin 2x)'(1-\sin 2x)-(1+\sin 2x)(1-\sin 2x)’}{(1-\sin 2x)^2}. $$

Так как

$$ (1+\sin 2x)’=2\cos 2x,\qquad (1-\sin 2x)’=-2\cos 2x, $$

то

$$ f'(x)=\frac{2\cos 2x(1-\sin 2x)-(1+\sin 2x)(-2\cos 2x)}{(1-\sin 2x)^2}. $$

Упростим:

$$ f'(x)=\frac{2\cos 2x(1-\sin 2x+1+\sin 2x)}{(1-\sin 2x)^2} =\frac{4\cos 2x}{(1-\sin 2x)^2}. $$

Теперь подставим значения аргумента.

$$ f'(0)=\frac{4\cos 0}{(1-\sin 0)^2}=\frac{4\cdot 1}{1^2}=4. $$

$$ f’\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{4\cos\frac{\pi}{3}}{\left(1-\sin\frac{\pi}{3}\right)^2} =\frac{4\cdot \frac12}{\left(1-\frac{\sqrt3}{2}\right)^2} =\frac{2}{\left(\frac{2-\sqrt3}{2}\right)^2} =\frac{8}{(2-\sqrt3)^2}. $$

$$ (2-\sqrt3)^2=4-4\sqrt3+3=7-4\sqrt3, $$

поэтому

$$ f’\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{8}{7-4\sqrt3} =\frac{8(7+4\sqrt3)}{(7-4\sqrt3)(7+4\sqrt3)} =8(7+4\sqrt3). $$