Упр.1130 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Определить знак числа $$f'(2)$$, если: 1) $$f(x)=e^{3-2x}\cdot x^2$$; 2) $$f(x)=\frac{x^2}{e^{1-x}}$$.

1) $$f(x)=e^{3-2x}\cdot x^2$$

Найдём производную по правилу произведения:

$$f'(x)=(e^{3-2x})’\cdot x^2+e^{3-2x}\cdot (x^2)’.$$

$$f'(x)=-2e^{3-2x}\cdot x^2+e^{3-2x}\cdot 2x =2xe^{3-2x}(1-x).$$

Тогда

$$f'(2)=2\cdot 2\cdot e^{3-4}(1-2)=4e^{-1}\cdot(-1)=-\frac{4}{e}.$$

Так как $$e>0$$, то $$f'(2)<0$$.

2) $$f(x)=\frac{x^2}{e^{1-x}}$$

Перепишем функцию:

$$f(x)=x^2e^{x-1}.$$

Тогда

$$f'(x)=(x^2)’e^{x-1}+x^2(e^{x-1})’ =2xe^{x-1}+x^2e^{x-1} =e^{x-1}(2x+x^2).$$

Подставим $$x=2$$:

$$f'(2)=e^{2-1}(2\cdot 2+2^2)=e(4+4)=8e.$$

Так как $$e>0$$, то $$f'(2)>0$$.

Ответ

1) $$f'(2)<0$$; 2) $$f'(2)>0$$.