Упр.1128 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 1128. Найти производную функции у = log3x+4 + (7x — 4) в точке х = 2. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 kolyagin11 1128 118

Запишем функцию в удобном виде:

$$y=\log_{3x+4}(7x-4)=\frac{\ln(7x-4)}{\ln(3x+4)}.$$

Найдём производную по формуле производной частного:

$$ y'(x)=\frac{\left(\ln(7x-4)\right)’\ln(3x+4)-\ln(7x-4)\left(\ln(3x+4)\right)’}{\ln^2(3x+4)}. $$

Так как

$$\left(\ln(7x-4)\right)’=\frac{7}{7x-4}, \qquad \left(\ln(3x+4)\right)’=\frac{3}{3x+4},$$

то

$$ y'(x)=\frac{\frac{7}{7x-4}\ln(3x+4)-\ln(7x-4)\cdot \frac{3}{3x+4}}{\ln^2(3x+4)}. $$

Подставим $$x=2$$:

$$ y'(2)=\frac{\frac{7}{14-4}\ln(10)-\ln(10)\cdot \frac{3}{10}}{\ln^2(10)}. $$

Упростим:

$$ y'(2)=\frac{\frac{7}{10}\ln 10-\frac{3}{10}\ln 10}{\ln^2 10} =\frac{\frac{4}{10}\ln 10}{\ln^2 10} =\frac{2}{5\ln 10}. $$

Ответ

$$\frac{2}{5\ln 10}$$