Упр.1128 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти производную функции $$y=\log_3 x+4+(7x-4)$$ в точке $$x=2$$.

Запишем функцию в удобном виде:

$$y=\log_{3x+4}(7x-4)=\frac{\ln(7x-4)}{\ln(3x+4)}.$$

Найдём производную по формуле производной частного:

$$y'(x)=\frac{\left(\ln(7x-4)\right)’\ln(3x+4)-\ln(7x-4)\left(\ln(3x+4)\right)’}{\ln^2(3x+4)}.$$

Так как

$$\left(\ln(7x-4)\right)’=\frac{7}{7x-4}, \qquad \left(\ln(3x+4)\right)’=\frac{3}{3x+4},$$

то

$$y'(x)=\frac{\frac{7}{7x-4}\ln(3x+4)-\ln(7x-4)\cdot \frac{3}{3x+4}}{\ln^2(3x+4)}.$$

Подставим $$x=2$$:

$$y'(2)=\frac{\frac{7}{14-4}\ln(10)-\ln(10)\cdot \frac{3}{10}}{\ln^2(10)}.$$

Упростим:

$$y'(2)=\frac{\frac{7}{10}\ln 10-\frac{3}{10}\ln 10}{\ln^2 10} =\frac{\frac{4}{10}\ln 10}{\ln^2 10} =\frac{2}{5\ln 10}.$$

Ответ

$$\frac{2}{5\ln 10}$$