Упр.1122 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Колесо вращается так, что угол поворота прямо пропорционален кубу времени вращения. Первый оборот был сделан колесом за 2 с. Определить угловую скорость колеса через 4 с после начала вращения.

Пусть угол поворота колеса зависит от времени по закону

$$\varphi(t)=kt^3.$$

Первый оборот соответствует углу $$2\pi$$, значит через $$2$$ с:

$$\varphi(2)=k\cdot 2^3=2\pi,$$

откуда

$$8k=2\pi,\qquad k=\frac{\pi}{4}.$$

Угловая скорость равна производной угла поворота:

$$\omega(t)=\varphi'(t)=\left(\frac{\pi}{4}t^3\right)’=\frac{3\pi}{4}t^2.$$

Тогда через $$4$$ с:

$$\omega(4)=\frac{3\pi}{4}\cdot 4^2=\frac{3\pi}{4}\cdot 16=12\pi.$$

Ответ

$$12\pi\ \text{рад/с}$$