Упр.1117 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

Найти значение производной функции $$f(x)$$ в точке $$x_0$$, если:
1) $$f(x)=x^3-\frac{x^2}{2}+x$$, $$x_0=\frac{1}{3}$$;
2) $$f(x)=\frac{\ln x}{x}$$, $$x_0=1$$;
3) $$f(x)=x^{-3}-\frac{2}{x^2}+3x$$, $$x_0=3$$;
4) $$f(x)=\frac{\cos x}{\sin x}$$, $$x_0=\frac{\pi}{4}$$.

Подробный ответ

$$f(x)=x^3-\frac{x^2}{2}+x$$
Найдём производную:
$$f'(x)=3x^2-x+1$$
Подставим $$x_0=\frac13$$:
$$f’\left(\frac13\right)=3\cdot\left(\frac13\right)^2-\frac13+1=\frac13-\frac13+1=1$$
$$f(x)=\frac{\ln x}{x}$$
По правилу производной частного:
$$f'(x)=\frac{\frac1x\cdot x-\ln x\cdot 1}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}$$
Подставим $$x_0=1$$:
$$f'(1)=\frac{1-\ln 1}{1^2}=\frac{1-0}{1}=1$$
$$f(x)=x^{-3}-\frac{2}{x^2}+3x$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-3x^{-4}+4x^{-3}+3=-\frac{3}{x^4}+\frac{4}{x^3}+3$$
Подставим $$x_0=3$$:
$$f'(3)=-\frac{3}{3^4}+\frac{4}{3^3}+3=-\frac{3}{81}+\frac{4}{27}+3=-\frac{1}{27}+\frac{4}{27}+3=\frac{1}{9}+3=3\frac{1}{9}$$
$$f(x)=\frac{\cos x}{\sin x}$$
По правилу производной частного:
$$f'(x)=\frac{-\sin x\cdot \sin x-\cos x\cdot \cos x}{\sin^2 x}=-\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin^2 x}=-\frac{1}{\sin^2 x}$$
Подставим $$x_0=\frac{\pi}{4}$$:
$$f’\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{1}{\sin^2\frac{\pi}{4}}=-\frac{1}{\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2}=-\frac{1}{\frac12}=-2$$