Упр.1116 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 1116. Дана фигура, ограниченная кривой у = sinx и прямыми у = 0, х = пи/2 (0 < =x < =пи/2). Под каким углом к оси Ох нужно провести прямую через точку (0; 0), чтобы эта прямая разбивала данную фигуру на две фигуры равной площади? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 kolyagin11 1116 118

Пусть искомая прямая проходит через начало координат и образует с положительным направлением оси $$Ox$$ угол $$\alpha$$. Тогда её уравнение имеет вид

$$y=\tan\alpha \cdot x.$$

Площадь всей фигуры равна

$$ S=\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx =-\cos x\Big|_0^{\pi/2} =-\cos\frac{\pi}{2}+\cos 0=1. $$

Чтобы прямая делила фигуру на две равные части, площадь одной из частей должна быть равна

$$S_1=\frac12.$$

Найдём площадь фигуры под прямой:

$$ S_1=\int_0^{\pi/2}\tan\alpha \cdot x\,dx =\tan\alpha \cdot \frac{x^2}{2}\Big|_0^{\pi/2} =\tan\alpha \cdot \frac{\pi^2}{8}. $$

Приравниваем к половине общей площади:

$$ \tan\alpha \cdot \frac{\pi^2}{8}=\frac12. $$

Отсюда

$$ \tan\alpha=\frac{4}{\pi^2}, \qquad \alpha=\arctan\frac{4}{\pi^2}. $$

Ответ

$$\arctan\frac{4}{\pi^2}$$