Упр.1116 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Дана фигура, ограниченная кривой $$y=\sin x$$ и прямыми $$y=0$$, $$x=\frac{\pi}{2}$$ ($$0\leq x\leq\frac{\pi}{2}$$). Под каким углом к оси $$Ox$$ нужно провести прямую через точку $$(0;0)$$, чтобы эта прямая разбивала данную фигуру на две фигуры равной площади?

Пусть искомая прямая проходит через начало координат и образует с положительным направлением оси $$Ox$$ угол $$\alpha$$. Тогда её уравнение имеет вид

$$y=\tan\alpha \cdot x.$$

Площадь всей фигуры равна

$$S=\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx =-\cos x\Big|_0^{\pi/2} =-\cos\frac{\pi}{2}+\cos 0=1.$$

Чтобы прямая делила фигуру на две равные части, площадь одной из частей должна быть равна

$$S_1=\frac12.$$

Найдём площадь фигуры под прямой:

$$S_1=\int_0^{\pi/2}\tan\alpha \cdot x\,dx =\tan\alpha \cdot \frac{x^2}{2}\Big|_0^{\pi/2} =\tan\alpha \cdot \frac{\pi^2}{8}.$$

Приравниваем к половине общей площади:

$$\tan\alpha \cdot \frac{\pi^2}{8}=\frac12.$$

Отсюда

$$\tan\alpha=\frac{4}{\pi^2}, \qquad \alpha=\arctan\frac{4}{\pi^2}.$$

Ответ

$$\arctan\frac{4}{\pi^2}$$