Упр.1115 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

Через точку графика функции $$y=\sqrt{x}$$ с абсциссой $$a$$, где $$\frac{1}{2}\leqslant a\leqslant 2$$, проведена касательная к этому графику. Найти значение $$a$$, при котором площадь треугольника, ограниченного этой касательной, осью $$Ox$$ и прямой $$x=3$$, будет наименьшей, и вычислить эту площадь.

Подробный ответ

Найдём уравнение касательной к графику функции $$y=\sqrt{x}$$ в точке с абсциссой $$a$$, где $$\frac12 \le a \le 2$$.

Производная:

$$y’=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \qquad y'(a)=\frac{1}{2\sqrt{a}}, \qquad y(a)=\sqrt{a}.$$

Уравнение касательной:

$$y-\sqrt{a}=\frac{1}{2\sqrt{a}}(x-a).$$

Преобразуем:

$$y=\sqrt{a}+\frac{x-a}{2\sqrt{a}}=\frac{2a+x-a}{2\sqrt{a}}=\frac{a+x}{2\sqrt{a}}.$$

Найдём точки пересечения касательной с осями и прямой $$x=3$$.

С осью $$Ox$$:

$$\frac{a+x}{2\sqrt{a}}=0 \quad \Rightarrow \quad x=-a.$$

С прямой $$x=3$$:

$$y=\frac{a+3}{2\sqrt{a}}.$$

Основание треугольника на оси $$Ox$$ равно

$$3-(-a)=a+3,$$

а высота равна

$$\frac{a+3}{2\sqrt{a}}.$$

Тогда площадь:

$$S(a)=\frac12(a+3)\cdot \frac{a+3}{2\sqrt{a}}=\frac{(a+3)^2}{4\sqrt{a}}.$$

Исследуем функцию $$S(a)$$ на минимум:

$$S(a)=\frac14(a+3)^2a^{-1/2}.$$

Тогда

$$S'(a)=\frac14\left(2(a+3)a^{-1/2}-\frac12(a+3)^2a^{-3/2}\right) =\frac{(a+3)(a-1)}{8a^{3/2}}.$$

На промежутке $$\frac12 \le a \le 2$$ знаменатель положителен, поэтому знак производной определяется выражением $$a-1$$. Следовательно, минимум достигается при

$$a=1.$$

Найдём площадь:

$$S(1)=\frac{(1+3)^2}{4\sqrt{1}}=\frac{16}{4}=4.$$