Упр.1114 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой $$y=0{,}5x^2-2x+2$$ и касательными к ней, проведёнными через точки $$A\left(1;\frac{1}{2}\right)$$ и $$B(4;2)$$.

Найдём уравнения касательных к параболе $$y=0{,}5x^2-2x+2.$$

Производная:

$$y’ = x-2.$$

Касательная в точке $$A(1;\tfrac12)$$:

$$y'(1)=1-2=-1,$$

$$y-\tfrac12=-1(x-1),$$

$$y=1{,}5-x.$$

Касательная в точке $$B(4;2)$$:

$$y'(4)=4-2=2,$$

$$y-2=2(x-4),$$

$$y=2x-6.$$

Найдём абсциссу точки пересечения касательных:

$$1{,}5-x=2x-6,$$

$$3x=7{,}5,$$

$$x=2{,}5.$$

Искомая площадь равна сумме площадей между параболой и касательными:

$$S=\int\limits_{1}^{2{,}5}\bigl(0{,}5x^2-2x+2-(1{,}5-x)\bigr)\,dx+\int\limits_{2{,}5}^{4}\bigl(0{,}5x^2-2x+2-(2x-6)\bigr)\,dx.$$

Упростим подынтегральные выражения:

$$S=\int\limits_{1}^{2{,}5}(0{,}5x^2-x+0{,}5)\,dx+\int\limits_{2{,}5}^{4}(0{,}5x^2-4x+8)\,dx.$$

Заметим, что

$$0{,}5x^2-x+0{,}5=0{,}5(x-1)^2,\qquad 0{,}5x^2-4x+8=0{,}5(x-4)^2.$$

Тогда

$$S=\frac12\int\limits_{1}^{2{,}5}(x-1)^2\,dx+\frac12\int\limits_{2{,}5}^{4}(x-4)^2\,dx.$$

Вычислим:

$$S=\frac12\cdot \left.\frac{(x-1)^3}{3}\right|_{1}^{2{,}5}+\frac12\cdot \left.\frac{(x-4)^3}{3}\right|_{2{,}5}^{4}$$

$$=\frac16\left((1{,}5)^3+(-1{,}5)^3\right)=\frac16\cdot 2\cdot (1{,}5)^3=\frac{9}{8}.$$

Ответ

$$\frac98$$