Упр.1113 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

При каком значении $$k$$ площадь фигуры, заключённой между параболой $$y=x^2+2x-3$$ и прямой $$y=kx+1$$, наименьшая?

Подробный ответ

Найдём точки пересечения параболы $$y=x^2+2x-3$$ и прямой $$y=kx+1$$:

$$x^2+2x-3=kx+1,$$
$$x^2+(2-k)x-4=0.$$

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни этого уравнения. Тогда

$$x_1+x_2=k-2,$$
$$x_1x_2=-4,$$
$$x_2-x_1=\sqrt{k^2-4k+20}.$$

Площадь фигуры равна

$$S=\int\limits_{x_1}^{x_2}(kx+1-(x^2+2x-3))\,dx=\int\limits_{x_1}^{x_2}(kx+4-x^2-2x)\,dx.$$

После вычислений получаем:

$$S(k)=\frac16\left(k^2-4k+20\right)^{3/2}.$$

Найдём минимум этой функции:

$$S'(k)=\frac16\cdot\frac32\left(k^2-4k+20\right)^{1/2}(2k-4) =\frac12\sqrt{k^2-4k+20}\,(k-2).$$

Так как $$\sqrt{k^2-4k+20}>0$$ при любом $$k$$, то знак производной определяется множителем $$k-2$$. Следовательно, функция убывает при $$k<2$$ и возрастает при $$k>2$$, значит, минимум достигается при

$$k=2.$$