Упр.1112 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти площадь фигуры, ограниченной параболой $$y=4x-x^2$$ и касательными к ней, проходящими через точку $$M\left(\frac{5}{2};6\right)$$.

Найдём уравнения касательных к параболе $$y=4x-x^2$$, проходящих через точку $$M\left(\frac52;6\right).$$

Производная параболы:

$$y’=4-2x.$$

Пусть касание происходит в точке с абсциссой $$a$$. Тогда уравнение касательной:

$$y=(4a-a^2)+(4-2a)(x-a).$$

Упростим:

$$y=a^2-2ax+4x.$$

Так как касательная проходит через точку $$M\left(\frac52;6\right),$$ получаем:

$$6=a^2-2a\cdot \frac52+4\cdot \frac52,$$

$$a^2-5a+4=0,$$

$$a_1=1,\quad a_2=4.$$

Следовательно, касательные имеют вид:

$$y_1=1^2-2\cdot 1\cdot x+4x=1+2x,$$

$$y_2=4^2-2\cdot 4\cdot x+4x=16-4x.$$

Найдём точки пересечения касательных с параболой. Для $$y_1=1+2x$$:

$$4x-x^2=1+2x,$$

$$x^2-2x+1=0,$$

$$x=1.$$

Для $$y_2=16-4x$$:

$$4x-x^2=16-4x,$$

$$x^2-8x+16=0,$$

$$x=4.$$

Искомая фигура состоит из двух частей, поэтому её площадь равна:

$$S=\int\limits_{1}^{\frac52}\bigl((1+2x)-(4x-x^2)\bigr)\,dx+\int\limits_{\frac52}^{4}\bigl((16-4x)-(4x-x^2)\bigr)\,dx.$$

То есть

$$S=\int\limits_{1}^{\frac52}(1-2x+x^2)\,dx+\int\limits_{\frac52}^{4}(16-8x+x^2)\,dx.$$

Вычислим:

$$S=\left(x-x^2+\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{1}^{\frac52}+\left(16x-4x^2+\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{\frac52}^{4}.$$

$$S=\frac{3}{4}+\frac{3}{4}=\frac32.$$

Ответ

$$\frac32$$