Упр.1111 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Парабола $$y=x^2+px+q$$ пересекает прямую $$y=2x-3$$ в точке с абсциссой $$1$$. При каких значениях $$p$$ и $$q$$ расстояние от вершины параболы до оси $$Ox$$ является наименьшим? Найдите это расстояние.

Пусть парабола имеет вид $$y=x^2+px+q,$$ а прямая — $$y=2x-3.$$

Так как они пересекаются в точке с абсциссой $$x=1,$$ подставим $$x=1$$ в оба уравнения:

$$1+p+q=2\cdot 1-3=-1,$$

откуда

$$p+q=-2,\qquad q=-2-p.$$

Координаты вершины параболы $$y=x^2+px+q$$:

$$x_0=-\frac{p}{2},$$

$$y_0=f\!\left(-\frac{p}{2}\right)=\left(-\frac{p}{2}\right)^2+p\left(-\frac{p}{2}\right)+q=q-\frac{p^2}{4}.$$

Расстояние от вершины до оси $$Ox$$ равно модулю ординаты вершины:

$$d=\left|q-\frac{p^2}{4}\right|.$$

Подставим $$q=-2-p$$:

$$d(p)=\left|-2-p-\frac{p^2}{4}\right|=\frac{p^2+4p+8}{4}.$$

Так как $$p^2+4p+8=(p+2)^2+4,$$ то

$$d(p)=\frac{(p+2)^2+4}{4}\ge 1.$$

Минимум достигается при $$p=-2.$$ Тогда

$$q=-2-(-2)=0,$$

и

$$d_{\min}=\frac{(-2)^2+4(-2)+8}{4}=1.$$

Ответ

$$p=-2,\quad q=0,\quad d_{\min}=1.$$