Упр.1110 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

На параболе $$y=2x^2-3x+8$$ найти точки, касательные в которых проходят через начало координат.

Дана функция $$f(x)=2x^2-3x+8.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=4x-3.$$

Уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой $$a$$ имеет вид:

$$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$

Подставим значения:

$$y=(2a^2-3a+8)+(4a-3)(x-a).$$

Раскроем скобки:

$$y=2a^2-3a+8+4ax-4a^2-3x+3a=-2a^2+4ax-3x+8.$$

Так как касательная проходит через начало координат, то при $$x=0$$ и $$y=0$$ получаем:

$$0=-2a^2+8.$$

Отсюда:

$$2a^2=8,$$

$$a^2=4,$$

$$a=\pm 2.$$

Найдём точки касания:

$$f(-2)=2\cdot(-2)^2-3\cdot(-2)+8=22,$$

$$f(2)=2\cdot 2^2-3\cdot 2+8=10.$$

Следовательно, искомые точки: $$(-2;22)$$ и $$(2;10).$$

Ответ

$$(-2;22),\ (2;10)$$