Упр.111 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Доказать, что наименьший положительный период функции $$y=f(x)$$ равен $$T$$:

1. $$y=\cos 7x$$, $$T=\frac{2\pi}{7}$$;
2. $$y=\sin\frac{x}{7}$$, $$T=14\pi$$.

1. $$y=\cos 7x$$

   Проверим периодичность:

   $$y(x+T)=y(x)$$

   $$\cos 7(x+T)=\cos 7x$$

   $$\cos(7x+7T)=\cos 7x$$

   Чтобы это выполнялось при любом $$x$$, нужно, чтобы

   $$7T=2\pi$$

   Тогда

   $$T=\frac{2\pi}{7}$$

   Это и есть наименьший положительный период.

2. $$y=\sin \frac{x}{7}$$

   Проверим периодичность:

   $$y(x+T)=y(x)$$

   $$\sin \frac{x+T}{7}=\sin \frac{x}{7}$$

   $$\sin\left(\frac{x}{7}+\frac{T}{7}\right)=\sin \frac{x}{7}$$

   Чтобы это выполнялось при любом $$x$$, нужно, чтобы

   $$\frac{T}{7}=2\pi$$

   Следовательно,

   $$T=14\pi$$

   Это и есть наименьший положительный период.

Ответ

1) $$T=\frac{2\pi}{7}$$; 2) $$T=14\pi$$.