Упр.1108 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
- График функции $$y=-x^3+ax^2+bx+c$$, $$c>0$$, пересекает ось ординат в точке $$D$$ и имеет ровно две общие точки $$A$$ и $$B$$ с осью абсцисс. Прямая, касающаяся этого графика в точке $$B$$, проходит через точку $$D$$. Найти $$a$$, $$b$$, $$c$$, если площадь треугольника $$ABD$$ равна $$1$$.
Обозначим абсциссы точек пересечения графика с осью абсцисс через $$x_a$$ и $$x_b$$, где $$x_a<x_b.$$ Тогда
$$y=-(x-x_b)(x-x_a)^2.$$
Точка $$D$$ — пересечение с осью ординат, значит при $$x=0$$ имеем
$$c=y(0)=-(0-x_b)(0-x_a)^2=x_bx_a^2.$$
Производная функции:
$$y’=-\bigl[(x-x_a)^2+2(x-x_b)(x-x_a)\bigr].$$
В точке касания $$B(x_b,0)$$ угловой коэффициент касательной равен
$$y'(x_b)=-(x_b-x_a)^2.$$
Уравнение касательной в точке $$B$$:
$$y=-(x_b-x_a)^2(x-x_b).$$
Она проходит через точку $$D(0,c)$$, значит
$$c= x_b(x_b-x_a)^2.$$
Сравнивая два выражения для $$c$$, получаем
$$x_bx_a^2=x_b(x_b-x_a)^2,$$
откуда
$$x_a^2=(x_b-x_a)^2.$$
Так как $$x_b>x_a$$, то
$$x_b-x_a=x_a,\qquad x_b=2x_a.$$
Тогда
$$c=x_bx_a^2=2x_a^3.$$
Площадь треугольника $$ABD$$ равна
$$S=\frac12\cdot AB\cdot c=\frac12(x_b-x_a)\cdot c=1.$$
Подставим $$x_b=2x_a$$ и $$c=2x_a^3$$:
$$\frac12\cdot x_a\cdot 2x_a^3=1,$$
$$x_a^4=1,$$
откуда, с учётом $$x_a>0$$, получаем $$x_a=1.$$ Тогда
$$x_b=2,\qquad c=2.$$
Теперь найдём коэффициенты $$a$$ и $$b$$ из разложения:
$$y=-(x-2)(x-1)^2.$$
Раскроем скобки:
$$y=-(x-2)(x^2-2x+1) =-x^3+4x^2-5x+2.$$
Следовательно,
$$a=4,\qquad b=-5,\qquad c=2.$$
Ответ
$$a=4,\ b=-5,\ c=2.$$
