Упр.1108 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 1108 График функции у = -х3 + ах2 + bх + с, с > 0, пересекает ось ординат в точке D и имеет ровно две общие точки А и В с осью абсцисс. Прямая, касающаяся этого графика в точке В, проходит через точку D. Найти а, b, с, если площадь треугольника ABD равна 1. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 kolyagin11 1108 118

Обозначим абсциссы точек пересечения графика с осью абсцисс через $$x_a$$ и $$x_b$$, где $$x_a<x_b.$$ Тогда

$$y=-(x-x_b)(x-x_a)^2.$$

Точка $$D$$ — пересечение с осью ординат, значит при $$x=0$$ имеем

$$c=y(0)=-(0-x_b)(0-x_a)^2=x_bx_a^2.$$

Производная функции:

$$y’=-\bigl[(x-x_a)^2+2(x-x_b)(x-x_a)\bigr].$$

В точке касания $$B(x_b,0)$$ угловой коэффициент касательной равен

$$y'(x_b)=-(x_b-x_a)^2.$$

Уравнение касательной в точке $$B$$:

$$y=-(x_b-x_a)^2(x-x_b).$$

Она проходит через точку $$D(0,c)$$, значит

$$c= x_b(x_b-x_a)^2.$$

Сравнивая два выражения для $$c$$, получаем

$$x_bx_a^2=x_b(x_b-x_a)^2,$$

откуда

$$x_a^2=(x_b-x_a)^2.$$

Так как $$x_b>x_a$$, то

$$x_b-x_a=x_a,\qquad x_b=2x_a.$$

Тогда

$$c=x_bx_a^2=2x_a^3.$$

Площадь треугольника $$ABD$$ равна

$$S=\frac12\cdot AB\cdot c=\frac12(x_b-x_a)\cdot c=1.$$

Подставим $$x_b=2x_a$$ и $$c=2x_a^3$$:

$$\frac12\cdot x_a\cdot 2x_a^3=1,$$

$$x_a^4=1,$$

откуда, с учётом $$x_a>0$$, получаем $$x_a=1.$$ Тогда

$$x_b=2,\qquad c=2.$$

Теперь найдём коэффициенты $$a$$ и $$b$$ из разложения:

$$y=-(x-2)(x-1)^2.$$

Раскроем скобки:

$$ y=-(x-2)(x^2-2x+1) =-x^3+4x^2-5x+2. $$

Следовательно,

$$a=4,\qquad b=-5,\qquad c=2.$$

Ответ

$$a=4,\ b=-5,\ c=2.$$