Упр.1107 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 1107. График функции у = х3 + ах2 + bх + с, с < 0, пересекает ось ординат в точке А и имеет ровно две общие точки М и N с осью абсцисс. Прямая, касающаяся этого графика в точке М, проходит через точку А. Найти а, b, с, если площадь треугольника AMN равна 1. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 kolyagin11 1107 118

Обозначим абсциссы точек пересечения графика с осью $Ox$ через $x_M$ и $x_N$. Так как график имеет ровно две общие точки с осью абсцисс и в точке $M$ касательная проходит через точку $A$, то одна из точек пересечения является двойной. Поэтому можно записать

$$y=(x-x_M)(x-x_N)^2.$$

Точка $A$ — пересечение с осью ординат, значит при $x=0$ имеем

$$A(0;c), \qquad c=y(0).$$

Найдём производную:

$$ y’=(x-x_N)^2+2(x-x_M)(x-x_N). $$

В точке касания $M(x_M,0)$ угловой коэффициент касательной равен производной:

$$ y'(x_M)=(x_M-x_N)^2. $$

Уравнение касательной в точке $M$:

$$ y=(x_M-x_N)^2(x-x_M). $$

Так как эта прямая проходит через точку $A(0;c)$, то

$$ c=(x_M-x_N)^2(0-x_M)=-x_M(x_M-x_N)^2. $$

С другой стороны, из формулы функции

$$ c=y(0)=(0-x_M)(0-x_N)^2=-x_Mx_N^2. $$

Приравниваем:

$$ -x_Mx_N^2=-x_M(x_M-x_N)^2. $$

Так как $x_M\neq 0$, получаем

$$ x_N^2=(x_M-x_N)^2. $$

Отсюда

$$ x_N^2=x_M^2-2x_Mx_N+x_N^2 \quad \Rightarrow \quad 2x_Mx_N=x_M^2, $$

то есть

$$ x_M=2x_N. $$

Площадь треугольника $AMN$ равна

$$ S=\frac12\cdot |AN|\cdot |x_M-x_N|. $$

Так как $A(0;c)$, а точки $M$ и $N$ лежат на оси $Ox$, то

$$ |AN|=|c|=| -x_Mx_N^2 |=x_Mx_N^2. $$

Тогда

$$ 1=\frac12 \cdot x_Mx_N^2 \cdot (x_M-x_N). $$

Подставим $x_M=2x_N$:

$$ 1=\frac12 \cdot 2x_N \cdot x_N^2 \cdot (2x_N-x_N)=x_N^4. $$

Следовательно, $x_N=1$, а значит $x_M=2$.

Теперь найдём коэффициенты:

$$ y=(x-2)(x-1)^2. $$

Раскроем скобки:

$$ y=(x-2)(x^2-2x+1)=x^3-4x^2+5x-2. $$

Значит,

$$ a=-4,\quad b=5,\quad c=-2. $$

Ответ

$$a=-4,\quad b=5,\quad c=-2.$$