Упр.1107 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. График функции $$y=x^3+ax^2+bx+c$$, $$c<0$$, пересекает ось ординат в точке A и имеет ровно две общие точки M и N с осью абсцисс. Прямая, касающаяся этого графика в точке M, проходит через точку A. Найти $$a$$, $$b$$, $$c$$, если площадь треугольника AMN равна 1.

Обозначим абсциссы точек пересечения графика с осью $$Ox$$ через $$x_M$$ и $$x_N$$. Так как график имеет ровно две общие точки с осью абсцисс и в точке $$M$$ касательная проходит через точку $$A$$, то одна из точек пересечения является двойной. Поэтому можно записать

$$y=(x-x_M)(x-x_N)^2.$$

Точка $$A$$ — пересечение с осью ординат, значит при $$x=0$$ имеем

$$A(0;c), \qquad c=y(0).$$

Найдём производную:

$$y’=(x-x_N)^2+2(x-x_M)(x-x_N).$$

В точке касания $$M(x_M,0)$$ угловой коэффициент касательной равен производной:

$$y'(x_M)=(x_M-x_N)^2.$$

Уравнение касательной в точке $$M$$:

$$y=(x_M-x_N)^2(x-x_M).$$

Так как эта прямая проходит через точку $$A(0;c)$$, то

$$c=(x_M-x_N)^2(0-x_M)=-x_M(x_M-x_N)^2.$$

С другой стороны, из формулы функции

$$c=y(0)=(0-x_M)(0-x_N)^2=-x_Mx_N^2.$$

Приравниваем:

$$-x_Mx_N^2=-x_M(x_M-x_N)^2.$$

Так как $$x_M\neq 0$$, получаем

$$x_N^2=(x_M-x_N)^2.$$

Отсюда

$$x_N^2=x_M^2-2x_Mx_N+x_N^2 \quad \Rightarrow \quad 2x_Mx_N=x_M^2,$$

то есть

$$x_M=2x_N.$$

Площадь треугольника $$AMN$$ равна

$$S=\frac12\cdot |AN|\cdot |x_M-x_N|.$$

Так как $$A(0;c)$$, а точки $$M$$ и $$N$$ лежат на оси $$Ox$$, то

$$|AN|=|c|=| -x_Mx_N^2 |=x_Mx_N^2.$$

Тогда

$$1=\frac12 \cdot x_Mx_N^2 \cdot (x_M-x_N).$$

Подставим $$x_M=2x_N$$:

$$1=\frac12 \cdot 2x_N \cdot x_N^2 \cdot (2x_N-x_N)=x_N^4.$$

Следовательно, $$x_N=1$$, а значит $$x_M=2$$.

Теперь найдём коэффициенты:

$$y=(x-2)(x-1)^2.$$

Раскроем скобки:

$$y=(x-2)(x^2-2x+1)=x^3-4x^2+5x-2.$$

Значит,

$$a=-4,\quad b=5,\quad c=-2.$$

Ответ

$$a=-4,\quad b=5,\quad c=-2.$$