Упр.1106 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Графику функции $$y=x^3+ax^2+bx+c$$ принадлежат точки А и В, симметричные относительно прямой $$x=-2$$. Касательные к этому графику в точках А и В параллельны между собой. Одна из этих касательных проходит через точку $$(0;1)$$, а другая — через точку $$(0;5)$$. Найти $$a$$, $$b$$, $$c$$.

Пусть $$f(x)=x^3+ax^2+bx+c.$$ Тогда

$$f'(x)=3x^2+2ax+b.$$

Так как точки $$A$$ и $$B$$ симметричны относительно прямой $$x=-2,$$ их абсциссы можно записать так:

$$A(-2-l,\ f(-2-l)), \quad B(l-2,\ f(l-2)).$$

Касательные в точках $$A$$ и $$B$$ параллельны, значит, равны их угловые коэффициенты:

$$f'(-2-l)=f'(l-2).$$

Подставим:

$$3(-2-l)^2+2a(-2-l)+b=3(l-2)^2+2a(l-2)+b.$$

После упрощения получаем:

$$a=6.$$

Теперь найдём уравнение касательной в точке с абсциссой $$t$$:

$$y=f(t)+f'(t)(x-t).$$

Подставим $$f(t)=t^3+6t^2+bt+c$$ и $$f'(t)=3t^2+12t+b$$:

$$y=t^3+6t^2+bt+c+(3t^2+12t+b)(x-t).$$

Упростим:

$$y=bx+c-2t^3-6t^2+12tx+3t^2x.$$

При $$x=0$$ получаем ординату точки пересечения касательной с осью $$Oy$$:

$$y=c-2t^3-6t^2.$$

Для касательной, проходящей через точку $$(0;1),$$ имеем

$$1=c-2(-2-l)^3-6(-2-l)^2.$$

Для касательной, проходящей через точку $$(0;5),$$ имеем

$$5=c-2(l-2)^3-6(l-2)^2.$$

Вычтем одно уравнение из другого:

$$-2(-2-l)^3-6(-2-l)^2=-2(l-2)^3-6(l-2)^2+4.$$

После упрощения:

$$l^3=-1,$$

значит,

$$l=-1.$$

Тогда из любого из найденных уравнений:

$$c=-2(-1)^3-6(-1)^2+9=5.$$

Теперь найдём $$b.$$

Точка $$A$$ имеет абсциссу

$$-2-l=-2-(-1)=-1,$$

поэтому

$$f(-1)=-1+6-b+5=10-b.$$

Точка $$B$$ имеет абсциссу

$$l-2=-1-2=-3,$$

поэтому

$$f(-3)=-27+54-3b+5=32-3b.$$

Так как точки $$A$$ и $$B$$ симметричны относительно прямой $$x=-2,$$ их ординаты равны:

$$10-b=32-3b.$$

Отсюда

$$2b=22,$$

$$b=11.$$

Ответ

$$a=6,\quad b=11,\quad c=5.$$