Упр.1106 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 1106. Графику функции у = х3 + ах2 + bх + с принадлежат точки А и В, симметричные относительно прямой х = -2. Касательные к этому графику в точках А и В параллельны между собой. Одна из этих касательных проходит через точку (0; 1), а другая — через точку (0; 5). Найти а, b, с. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 kolyagin11 1106 118
Пусть $$f(x)=x^3+ax^2+bx+c.$$ Тогда
$$f'(x)=3x^2+2ax+b.$$
Так как точки $$A$$ и $$B$$ симметричны относительно прямой $$x=-2,$$ их абсциссы можно записать так:
$$A(-2-l,\ f(-2-l)), \quad B(l-2,\ f(l-2)).$$
Касательные в точках $$A$$ и $$B$$ параллельны, значит, равны их угловые коэффициенты:
$$f'(-2-l)=f'(l-2).$$
Подставим:
$$3(-2-l)^2+2a(-2-l)+b=3(l-2)^2+2a(l-2)+b.$$
После упрощения получаем:
$$a=6.$$
Теперь найдём уравнение касательной в точке с абсциссой $$t$$:
$$y=f(t)+f'(t)(x-t).$$
Подставим $$f(t)=t^3+6t^2+bt+c$$ и $$f'(t)=3t^2+12t+b$$:
$$y=t^3+6t^2+bt+c+(3t^2+12t+b)(x-t).$$
Упростим:
$$y=bx+c-2t^3-6t^2+12tx+3t^2x.$$
При $$x=0$$ получаем ординату точки пересечения касательной с осью $$Oy$$:
$$y=c-2t^3-6t^2.$$
Для касательной, проходящей через точку $$ (0;1), $$ имеем
$$1=c-2(-2-l)^3-6(-2-l)^2.$$
Для касательной, проходящей через точку $$ (0;5), $$ имеем
$$5=c-2(l-2)^3-6(l-2)^2.$$
Вычтем одно уравнение из другого:
$$-2(-2-l)^3-6(-2-l)^2=-2(l-2)^3-6(l-2)^2+4.$$
После упрощения:
$$l^3=-1,$$
значит,
$$l=-1.$$
Тогда из любого из найденных уравнений:
$$c=-2(-1)^3-6(-1)^2+9=5.$$
Теперь найдём $$b.$$
Точка $$A$$ имеет абсциссу
$$-2-l=-2-(-1)=-1,$$
поэтому
$$f(-1)=-1+6-b+5=10-b.$$
Точка $$B$$ имеет абсциссу
$$l-2=-1-2=-3,$$
поэтому
$$f(-3)=-27+54-3b+5=32-3b.$$
Так как точки $$A$$ и $$B$$ симметричны относительно прямой $$x=-2,$$ их ординаты равны:
$$10-b=32-3b.$$
Отсюда
$$2b=22,$$
$$b=11.$$
Ответ
$$a=6,\quad b=11,\quad c=5.$$
