Упр.1105 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Графику функции $$y=-x^8+ax^2+bx+c$$ принадлежат точки А и В, симметричные относительно прямой $$x=2$$. Касательные к этому графику в точках А и В параллельны между собой. Одна из этих касательных проходит через точку $$(0;2)$$, а другая — через точку $$(0;6)$$. Найти $$a$$, $$b$$, $$c$$.

Пусть точки касания симметричны относительно прямой $$x=2$$. Тогда их абсциссы можно записать так:

$$A(2-t; f(2-t)), \quad B(2+t; f(2+t)).$$

Дана функция

$$f(x)=-x^3+ax^2+bx+c.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=-3x^2+2ax+b.$$

Так как касательные в точках $$A$$ и $$B$$ параллельны, их угловые коэффициенты равны:

$$f'(2-t)=f'(2+t).$$

Подставим:

$$-3(2-t)^2+2a(2-t)+b=-3(2+t)^2+2a(2+t)+b.$$

Раскроем скобки:

$$-12+12t-3t^2+4a-2at=-12-12t-3t^2+4a+2at.$$

Сократим одинаковые слагаемые:

$$24t-4at=0,$$

$$t(24-4a)=0.$$

Так как точки разные, $$t\neq 0$$, значит

$$24-4a=0,\quad a=6.$$

Теперь запишем уравнение касательной в точке с абсциссой $$x_0$$:

$$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$$

При $$a=6$$ имеем

$$f(x)=-x^3+6x^2+bx+c,$$

$$f'(x)=-3x^2+12x+b.$$

Касательная в точке $$A(2-t; f(2-t))$$ проходит через точку $$(0;2)$$, значит при $$x=0$$:

$$2=f(2-t)-(2-t)f'(2-t).$$

После подстановки и упрощения получаем:

$$c=2t^3-6t^2+10.$$

Аналогично для касательной в точке $$B(2+t; f(2+t))$$, проходящей через точку $$(0;6)$$:

$$6=f(2+t)-(2+t)f'(2+t),$$

откуда

$$c=-2t^3-6t^2+14.$$

Приравняем выражения для $$c$$:

$$2t^3-6t^2+10=-2t^3-6t^2+14,$$

$$4t^3=4,$$

$$t^3=1,\quad t=1.$$

Тогда

$$c=2\cdot 1^3-6\cdot 1^2+10=6.$$

Осталось найти $$b$$. Для точки $$A$$:

$$f(1)=-1+6+b+6=b+11.$$

Для точки $$B$$:

$$f(3)=-27+54+3b+6=3b+33.$$

Так как точки касания лежат на одном и том же графике и симметричны, их ординаты равны:

$$b+11=3b+33,$$

$$-2b=22,$$

$$b=-11.$$

Ответ

$$a=6,\quad b=-11,\quad c=6.$$