Упр.1104 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти все значения $$x$$, при которых касательные к графикам функций $$y=3\cos 5x$$ и $$y=5\cos 3x+2$$ в точках с абсциссой $$x$$ параллельны.

Найдём производные данных функций:

$$y=3\cos 5x \Rightarrow y’=-15\sin 5x,$$

$$y=5\cos 3x+2 \Rightarrow y’=-15\sin 3x.$$

Касательные параллельны, если их угловые коэффициенты равны:

$$-15\sin 5x=-15\sin 3x,$$

$$\sin 5x=\sin 3x.$$

Используем формулу разности синусов:

$$\sin 5x-\sin 3x=2\sin \frac{5x-3x}{2}\cos \frac{5x+3x}{2}=0,$$

откуда

$$2\sin x\cos 4x=0.$$

Следовательно,

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos 4x=0.$$

1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

2) $$\cos 4x=0 \Rightarrow 4x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z},$$

$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\; n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

$$x=\pi n,\; n\in \mathbb{Z}; \qquad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\; n\in \mathbb{Z}.$$