Упр.1103 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти все значения $$b$$, при каждом из которых производная функции $$f(x)=\sin 2x-8(b+2)\cos x-(4b^2+16b+6)x$$ отрицательна на всей числовой прямой.

Найдём производную:

$$f(x)=\sin 2x-8(b+2)\cos x-(4b^2+16b+6)x$$

$$f'(x)=2\cos 2x+8(b+2)\sin x-(4b^2+16b+6).$$

Преобразуем:

$$f'(x)=2\cos 2x+8b\sin x+16\sin x-4b^2-16b-6,$$

$$f'(x)=-2\bigl(2b^2-b(4\sin x-8)-(\cos 2x+8\sin x-3)\bigr).$$

Чтобы производная была отрицательной при всех $$x$$, нужно и достаточно, чтобы

$$2b^2-b(4\sin x-8)-(\cos 2x+8\sin x-3)>0$$

при всех $$x$$.

Рассмотрим это как квадратное неравенство относительно $$b$$. Его дискриминант:

$$D=(4\sin x-8)^2+8(\cos 2x+8\sin x-3).$$

Упростим:

$$D=16\sin^2 x-64\sin x+64+8\cos 2x+64\sin x-24,$$

$$D=16\sin^2 x+8\cos 2x+40.$$$$

Так как$$\cos 2x=1-2\sin^2 x,$$то

$$D=16\sin^2 x+8(1-2\sin^2 x)+40=48.$$

Тогда корни квадратного трёхчлена по $b$ равны:

$$b=\frac{4\sin x-8\pm\sqrt{48}}{4}=\sin x-2\pm\sqrt{3}.$$

Следовательно, при каждом $x$ должно выполняться

$$b<\sin x-2-\sqrt3 \quad \text{или} \quad b>\sin x-2+\sqrt3.$$

Чтобы это было верно для всех $x$, учитываем, что

$$-1\le \sin x\le 1.$$

Значит,

$$\sin x-2-\sqrt3\le -3-\sqrt3,$$

$$\sin x-2+\sqrt3\ge \sqrt3-1.$$

Итак, подходят все значения $b$, для которых

$$b<-3-\sqrt3 \quad \text{или} \quad b>\sqrt3-1.$$

Ответ

$$b\in(-\infty;\,-3-\sqrt3)\cup(\sqrt3-1;\,+\infty).$$